La réponse courte
La formule quadratique résout toute équation de la forme ax² + bx + c = 0 : x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). Le ± signifie qu'il existe deux solutions, trouvées en ajoutant puis en soustrayant le terme racine carrée. Le discriminant, b²−4ac, prévisualise le type de solutions auquel s'attendre avant même de terminer le calcul.
Points clés à retenir
- Le discriminant (b²−4ac) prévisualise le type de réponse : positif signifie deux racines réelles, zéro signifie une racine réelle répétée, négatif signifie deux racines complexes.
- Le sommet, à x = −b/(2a), est le point minimum de la parabole si a > 0 ou son point maximum si a < 0.
- La factorisation est plus rapide que la formule lorsqu'une factorisation quadratique est nette sur des entiers, mais la formule fonctionne toujours, même lorsque la factorisation ne fonctionne pas.
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
La formule quadratique et le discriminant
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| Discriminant | Type de solution | Exemple |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | Deux vraies solutions | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | Une vraie solution répétée | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | Deux solutions complexes | x²+x+1=0 |
Exemple concret : résolution de x² − 5x + 6 = 0
une=1, b=−5, c=6
Discriminant = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 ou x = 2
Cela correspond directement à la factorisation de la même équation : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), qui est nul exactement lorsque x = 2 ou x = 3 — la formule quadratique et la factorisation sont d'accord, comme elles le seront toujours.
Sommet et axe de symétrie
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2,5
y = (2,5)² − 5(2,5) + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25
Sommet = (2,5, −0,25)
Puisque a = 1 est positif, cette parabole s'ouvre vers le haut, donc le sommet (2,5, −0,25) est le point le plus bas de la courbe — et il se situe exactement à mi-chemin entre les deux racines, 2 et 3, sur l'axe de symétrie x = 2,5.
Erreurs courantes à éviter
- En oubliant le ± et en ne rapportant qu'une seule racine, chaque quadratique avec un discriminant positif a deux solutions distinctes.
- Signez les erreurs lorsque b est négatif - un b négatif rend −b positif, source fréquente d'erreurs arithmétiques.
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- S'arrêter à x = −b/(2a) pour le sommet et oublier de le rebrancher dans l'équation d'origine pour obtenir également la coordonnée y.
Calculatrices associées
- Calculateur de racine — revérifiez l’étape de la racine carrée à l’intérieur de la formule.
- Calculateur d'exposant — vérifier les termes au carré dans le discriminant.
- Calculatrice matricielle — résoudre des systèmes d’équations au-delà d’une seule quadratique.
- Calculatrice scientifique — gérer les calculs algébriques et trigonométriques généraux.