Краткият отговор
Квадратната формула решава всяко уравнение от вида ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). ± означава, че има две решения, получени чрез добавяне и след това изваждане на квадратния корен. Дискриминантът, b²−4ac, визуализира какъв вид решения да очаквате, преди дори да завършите изчислението.
Key takeaways
- Дискриминантът (b²−4ac) визуализира типа отговор: положителен означава два реални корена, нула означава един повторен реален корен, отрицателен означава два сложни корена.
- Върхът при x = −b/(2a) е минималната точка на параболата, ако a > 0, или максималната й точка, ако a < 0.
- Разлагането на множители е по-бързо от формулата, когато квадратното размножава спретнато цели числа, но формулата винаги работи, дори когато разлагането на множители не работи.
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
Квадратична формула и дискриминант
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| Дискриминант | Тип разтвор | Example |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | Две реални решения | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | Едно повторено реално решение | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | Две комплексни решения | x²+x+1=0 |
Работен пример: решаване на x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
Дискриминант = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 или x = 2
Това съвпада директно с разлагането на същото уравнение на множители: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), което е нула точно когато x = 2 или x = 3 — квадратната формула и разлагането на множители са съгласни, както винаги.
Връх и ос на симетрия
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2,5
y = (2,5)² − 5(2,5) + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25
Верх = (2,5, −0,25)
Тъй като a = 1 е положително, тази парабола се отваря нагоре, така че върхът (2,5, −0,25) е най-ниската точка на кривата — и се намира точно по средата между двата корена, 2 и 3, на оста на симетрия x = 2,5.
Често срещани грешки, които трябва да избягвате
- Забравяйки ± и отчитайки само един корен — всеки квадрат с положителен дискриминант има две различни решения.
- Грешки в знака, когато b е отрицателно - отрицателното b прави −b положително, чест източник на аритметични грешки.
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- Спирайки при x = −b/(2a) за върха и забравяйки да го включите обратно в оригиналното уравнение, за да получите и y-координатата.
Свързани калкулатори
- Корен калкулатор — проверете отново стъпката на квадратния корен във формулата.
- Експонентен калкулатор — проверете квадратните членове в дискриминанта.
- Матричен калкулатор — решаване на системи от уравнения извън едно квадратно.
- Научен калкулатор — боравят с общи алгебрични и тригонометрични изчисления.