Die kurze Antwort
Der Satz des Pythagoras besagt, dass a² + b² = c² für jedes rechtwinklige Dreieck gilt, wobei c die Hypotenuse (die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) und a, b die beiden Schenkel sind. Lösen Sie bei gegebenen zwei Seiten nach der dritten auf: c = √(a²+b²), um die Hypotenuse zu finden, oder a = √(c²−b²), um ein Bein zu finden.
Wichtige Erkenntnisse
- Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke – Dreiecke mit genau einem 90°-Winkel.
- Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und steht immer allein auf einer Seite der Gleichung, niemals kombiniert mit einem Bein unter derselben Quadratwurzel.
- Pythagoräische Tripel (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) sind ganzzahlige Lösungen, die bei Geometrieproblemen und Konstruktionen in der realen Welt ständig auftauchen.
- Die Multiplikation jeder Seite eines pythagoräischen Tripels mit derselben Zahl ergibt ein weiteres gültiges Tripel – 6-8-10 und 9-12-15 sind beide von 3-4-5 skaliert.
Lösung für jede Seite
| Unbekannt | Formel |
|---|---|
| c (Hypotenuse) | c = √(a² + b²) |
| ein (Bein) | a = √(c² − b²) |
| b (Bein) | b = √(c² − a²) |
Beim Auflösen nach einem Bein wird immer unter der Quadratwurzel subtrahiert, niemals addiert – ein Bein ist kürzer als die Hypotenuse, daher wird es durch Entfernen des Beitrags des anderen Beins von c² wiederhergestellt.
Gemeinsame pythagoreische Tripel
| Verdreifachen | Überprüfen |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
Ausgearbeitetes Beispiel: die 3-4-5-Konstruktionsregel
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
Bauherren messen von derselben Ecke aus 3 Fuß entlang einer Wand und 4 Fuß entlang einer senkrechten Wand und überprüfen dann die Diagonale zwischen diesen beiden Punkten. Eine Diagonale von genau 5 Fuß bestätigt einen echten rechten Winkel – kein Winkelmesser oder Winkelmesser erforderlich, nur ein Maßband und diese eine Identität.
Häufige Fehler, die es zu vermeiden gilt
- Wenn man a² + b² = c² auf ein Dreieck anwendet, das eigentlich nicht rechtwinklig ist, gilt die Identität einfach nicht ohne einen echten 90°-Winkel.
- Addieren statt Subtrahieren bei der Suche nach einem Bein – ein Bein ergibt sich aus c² − (anderes Bein)², nicht c² + (anderes Bein)².
- Falsche Bezeichnung, welche Seite die Hypotenuse ist – es ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel und immer die längste, unabhängig davon, wie das Dreieck gezeichnet oder gedreht wird.
- Mischen von Einheiten vor dem Quadrieren – jede Seite muss die gleiche Einheit haben (alle Fuß oder alle Meter), bevor die Formel ein aussagekräftiges Ergebnis liefert.
Verwandte Rechner
- Rechner für rechtwinklige Dreiecke — Lösen Sie zusätzlich zur fehlenden Seite nach Winkeln und Flächen auf.
- Entfernungsrechner — Sehen Sie, dass derselbe Satz auf Koordinatenpunkte anstelle von Dreiecksseiten angewendet wird.
- Dreiecksrechner — Arbeiten Sie mit Dreiecken, die nicht rechtwinklig sind.
- Wurzelrechner — Überprüfen Sie den Quadratwurzelschritt noch einmal von Hand.