Schnelle Antwort
Wählen Sie den Berechnungsmodus, der Ihren Kenntnissen entspricht – drei Seiten (SSS), zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen (SAS), zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen (ASA), zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite (AAS) oder zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSA). Der Rechner wendet das Kosinusgesetz oder das Sinusgesetz an, um für jede verbleibende Seite, jeden verbleibenden Winkel, jede verbleibende Fläche und jeden verbleibenden Umfang zu berechnen.
Wichtige Erkenntnisse
- Jedes Dreieck benötigt genau drei bekannte Werte (in einer gültigen Kombination), um vollständig gelöst zu werden.
- Das Kosinusgesetz verbindet drei Seiten und einen Winkel; Das Sinusgesetz verbindet Seiten und Winkel proportional zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels.
- Die drei Innenwinkel ergeben in der Summe immer genau 180°, unabhängig von der Form und Größe des Dreiecks.
- Die SSA-Eingabe ist der einzige Fall, der mehrdeutig sein kann – sie kann null, ein oder zwei gültige Dreiecke beschreiben.
- Die Heron-Formel ermittelt die Fläche direkt von drei Seiten, ohne dass ein Winkel erforderlich ist.
Auswahl einer Methode: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA
Jeder Modus beschreibt eine andere Kombination bekannter Seiten und Winkel. Ordnen Sie das, was Sie haben, einer Zeile unten zu:
| Modus | Du weisst | Gelöst mit |
|---|---|---|
| SSS | Alle drei Seiten | Kosinusgesetz (Winkel), Heronsche Formel (Fläche) |
| SAS | Two sides + the angle between them | Kosinusgesetz (dritte Seite), dann wieder Kosinusgesetz für Winkel |
| ASA | Zwei Winkel + die Seite dazwischen | Dreiecksummensatz (dritter Winkel), Sinusgesetz (Seiten) |
| AAS | Zwei Winkel + eine Seite, die nicht dazwischen liegt | Dreiecksummensatz (dritter Winkel), Sinusgesetz (Seiten) |
| SSA | Zwei Seiten + ein nicht eingeschlossener Winkel | Sinusgesetz – kann 0, 1 oder 2 Lösungen haben |
Sinusgesetz und Kosinusgesetz
The Law of Cosines generalizes the Pythagorean theorem to any triangle:
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
Das Sinusgesetz bezieht jede Seite auf den Sinus ihres entgegengesetzten Winkels:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Arbeitsbeispiel (ASA): Winkel A = 40°, Seite c = 10, Winkel B = 60°
- Winkel C = 180° − 40° − 60° = 80°
- Seite a = c × sin(A) / sin(C) = 10 × sin(40°) / sin(80°) ≈ 6,53
- Seite b = c × sin(B) / sin(C) = 10 × sin(60°) / sin(80°) ≈ 8,79
- Fläche = 0,5 × a × b × sin(C) ≈ 0,5 × 6,53 × 8,79 × sin(80°) ≈ 28,27
Der zweideutige SSA-Fall
Wenn Sie zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennen, bestimmt die Höhe h = b × sin(A), wie viele Dreiecke zu diesen Maßen passen. Beispiel: Seite b = 10, Winkel A = 30° (also h = 10 × sin(30°) = 5):
| Seite a | Vergleich zu h = 5 | Ergebnis |
|---|---|---|
| 4 | a < h | Es existiert kein Dreieck |
| 5 | a = h | Genau ein Dreieck (ein rechtwinkliges Dreieck) |
| 7 | h < a < b | Zwei mögliche Dreiecke (mehrdeutig) |
| 12 | a ≥ b | Genau ein Dreieck |
Dieser Rechner gibt den gültigen Lösungssatz für Ihre Eingaben zurück; Wenn zwei Dreiecke mathematisch möglich sind, wird die Lösung mit spitzem Winkel angezeigt.
Häufige Fehler
- Eingabe von drei Seiten, die gegen die Dreiecksungleichung verstoßen – die beiden kürzeren Seiten müssen mehr ergeben als die längste Seite, sonst kann sich kein Dreieck bilden.
- Verwechslung von SAS und ASA: Bei SAS muss der Winkel zwischen den beiden angegebenen Seiten liegen, während bei ASA die Seite zwischen den beiden angegebenen Winkeln liegen muss.
- Man vergisst, dass SSA mehrdeutig sein kann und geht davon aus, dass es nur ein mögliches Dreieck gibt.
- Arbeiten in der falschen Winkeleinheit – dieser Rechner erwartet Grad, nicht Bogenmaß.
Verwandte Rechner
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