Υπολογιστής Τετραγωνικής Φόρμουλας

Λύστε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο. Υπολογίστε τις ρίζες, τη διάκριση, την κορυφή και τον άξονα συμμετρίας με λύσεις βήμα προς βήμα.

Για βοήθεια εκμάθησης και εργασίας — επαληθεύστε ανεξάρτητα τους κρίσιμους υπολογισμούς.

Αξιολογήθηκε από Εκδοτική Επιτροπή Μαθηματικών CalculatorDrive · Τελευταία ενημέρωση

Αριθμομηχανή

Δεν μπορεί να είναι μηδέν

Εισάγετε τους συντελεστές a, b και c της τετραγωνικής εξίσωσης ax² + bx + c = 0 για να λύσετε το x.

Η σύντομη απάντηση

Ο τετραγωνικός τύπος λύνει οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). Το ± σημαίνει ότι υπάρχουν δύο λύσεις, που βρίσκονται προσθέτοντας και στη συνέχεια αφαιρώντας τον όρο της τετραγωνικής ρίζας. Το διακριτικό, b²−4ac, κάνει προεπισκόπηση του είδους των λύσεων που πρέπει να περιμένετε πριν καν ολοκληρώσετε τον υπολογισμό.

Βασικά φαγητά

  • Το διακριτικό (b²−4ac) κάνει προεπισκόπηση του τύπου απάντησης: θετικό σημαίνει δύο πραγματικές ρίζες, μηδέν σημαίνει μία επαναλαμβανόμενη πραγματική ρίζα, αρνητικό σημαίνει δύο σύνθετες ρίζες.
  • Η κορυφή, στο x = −b/(2a), είναι το ελάχιστο σημείο της παραβολής εάν a > 0 ή το μέγιστο σημείο της αν a < 0.
  • Η παραγοντοποίηση είναι ταχύτερη από τον τύπο όταν ένας τετραγωνικός συντελεστής καθαρά πάνω από ακέραιους αριθμούς, αλλά ο τύπος λειτουργεί πάντα, ακόμη και όταν η παραγοντοποίηση δεν λειτουργεί.
  • A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.

Ο τετραγωνικός τύπος και ο διαχωριστικός

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Διακριτικός Τύπος λύσης Παράδειγμα
b²−4ac > 0Δύο πραγματικές λύσειςx²−5x+6=0
b²−4ac = 0Μια επαναλαμβανόμενη πραγματική λύσηx²−4x+4=0
b²−4ac < 0Δύο σύνθετες λύσειςx²+x+1=0

Δουλευμένο παράδειγμα: επίλυση x² − 5x + 6 = 0

a=1, b=−5, c=6

Διακριτικό = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1

x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 ή x = 2

Αυτό ταιριάζει άμεσα με την παραγοντοποίηση της ίδιας εξίσωσης: x² − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3), που είναι μηδέν ακριβώς όταν x = 2 ή x = 3 — ο τετραγωνικός τύπος και η παραγοντοποίηση συμφωνούν, όπως πάντα.

Κορυφή και άξονας συμμετρίας

x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2,5

y = (2,5)² − 5(2,5) + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25

Κορυφή = (2,5, −0,25)

Εφόσον το a = 1 είναι θετικό, αυτή η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω, άρα η κορυφή (2,5, −0,25) είναι το χαμηλότερο σημείο της καμπύλης — και βρίσκεται ακριβώς στη μέση της διαδρομής μεταξύ των δύο ριζών, 2 και 3, στον άξονα συμμετρίας x = 2,5.

Συνήθη λάθη που πρέπει να αποφεύγονται

  • Ξεχνώντας το ± και αναφέροντας μόνο μία ρίζα — κάθε τετράγωνο με θετική διάκριση έχει δύο διακριτές λύσεις.
  • Σημάδι λάθη όταν το b είναι αρνητικό — το αρνητικό b κάνει το −b θετικό, μια συχνή πηγή αριθμητικών λαθών.
  • Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
  • Σταματάμε στο x = −b/(2a) για την κορυφή και ξεχνάμε να την συνδέσουμε ξανά στην αρχική εξίσωση για να πάρουμε και τη συντεταγμένη y.

Σχετικές αριθμομηχανές

Συχνές Ερωτήσεις

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Ένα τετραγωνικό έχει τη μορφή ax² + bx + c = 0 όπου a ≠ 0. Η γραφική παράσταση του είναι μια παραβολή που μπορεί να διασχίζει τον άξονα x σε μηδέν, ένα ή δύο σημεία.

Ποιος είναι ο τετραγωνικός τύπος;

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Η έκφραση b² − 4ac είναι ο διαχωριστής και σας λέει πόσες πραγματικές λύσεις υπάρχουν.

Τι σου λέει ο διακριτής;

Εάν είναι θετικό, δύο πραγματικές λύσεις. Εάν είναι μηδέν, μία επαναλαμβανόμενη πραγματική λύση. Εάν είναι αρνητικό, δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις (αλλά υπάρχουν δύο σύνθετες λύσεις).

Πότε είναι ευκολότερο το factoring από τον τύπο;

Όταν οι τετραγωνικοί συντελεστές είναι καθαρά πάνω από ακέραιους — x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3) — η παραγοντοποίηση είναι ταχύτερη. Η φόρμουλα λειτουργεί πάντα.

Πώς μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτήν την αριθμομηχανή τετραγωνικού τύπου;

Εισαγάγετε τους συντελεστές a, b και c και, στη συνέχεια, κάντε κλικ στην επιλογή Υπολογισμός για να δείτε τις ρίζες, την τιμή διάκρισης και την αντικατάσταση βήμα προς βήμα.

Τι αντιπροσωπεύουν η κορυφή και ο άξονας συμμετρίας;

Η κορυφή είναι το σημείο καμπής της παραβολής — το ελάχιστο εάν a > 0 (ανοίγει προς τα πάνω) ή το μέγιστο εάν a < 0 (ανοίγει προς τα κάτω) — βρίσκεται στο x = −b/(2a). Ο άξονας συμμετρίας είναι η κατακόρυφη ευθεία x = −b/(2a) που χωρίζει την παραβολή σε δύο μισά κατοπτρικά. η κορυφή κάθεται πάντα ακριβώς σε αυτή τη γραμμή.

More math calculators