La respuesta corta
La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). El ± significa que hay dos soluciones, que se encuentran sumando y luego restando el término de raíz cuadrada. El discriminante, b²−4ac, previsualiza qué tipo de soluciones esperar incluso antes de terminar el cálculo.
Conclusiones clave
- El discriminante (b²−4ac) previsualiza el tipo de respuesta: positivo significa dos raíces reales, cero significa una raíz real repetida, negativo significa dos raíces complejas.
- El vértice, en x = −b/(2a), es el punto mínimo de la parábola si a > 0 o su punto máximo si a < 0.
- La factorización es más rápida que la fórmula cuando una cuadrática factoriza claramente sobre números enteros, pero la fórmula siempre funciona, incluso cuando la factorización no funciona.
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
La fórmula cuadrática y el discriminante.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| discriminante | Tipo de solución | Ejemplo |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | Dos soluciones reales | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | Una solución real repetida | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | Dos soluciones complejas | x²+x+1=0 |
Ejemplo resuelto: resolver x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
Discriminante = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 o x = 2
Esto coincide con la factorización directa de la misma ecuación: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), que es cero exactamente cuando x = 2 o x = 3: la fórmula cuadrática y la factorización concuerdan, como siempre lo harán.
Vértice y eje de simetría.
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2,5
y = (2,5)² − 5(2,5) + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25
Vértice = (2,5, −0,25)
Como a = 1 es positivo, esta parábola se abre hacia arriba, por lo que el vértice (2,5, −0,25) es el punto más bajo de la curva y se encuentra exactamente a medio camino entre las dos raíces, 2 y 3, en el eje de simetría x = 2,5.
Errores comunes a evitar
- Olvidando el ± y reportando solo una raíz: cada cuadrática con un discriminante positivo tiene dos soluciones distintas.
- Errores de signo cuando b es negativo: un b negativo hace que −b sea positivo, una fuente frecuente de errores aritméticos.
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- Detenerse en x = −b/(2a) para el vértice y olvidarse de volver a insertarlo en la ecuación original para obtener también la coordenada y.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de raíces — Vuelva a verificar el paso de la raíz cuadrada dentro de la fórmula.
- Calculadora de exponentes — verificar los términos al cuadrado en el discriminante.
- Calculadora matricial — Resolver sistemas de ecuaciones más allá de una sola cuadrática.
- Calculadora científica — Manejar cálculos algebraicos y trigonométricos generales.