La respuesta corta
Una matriz es una cuadrícula rectangular de números. Sumar o restar matrices funciona entrada por entrada, pero multiplicar dos matrices combina filas de la primera con columnas de la segunda, nada como la multiplicación normal. Dos matrices solo se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz.
Conclusiones clave
- La multiplicación de matrices no es conmutativa: A × B generalmente no es igual a B × A, y es posible que ni siquiera se defina un orden.
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- Multiplicar una matriz por la matriz identidad la deja sin cambios: la matriz equivalente a multiplicar un número por 1.
- El determinante de una matriz de 2×2 [[a,b],[c,d]] es ad − bc, un número único que revela si la matriz se puede invertir.
Determinante 2×2 y fórmulas inversas
det([[a,b],[c,d]]) = anuncio − antes de Cristo
inversa = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]
Si ad − bc es igual a 0, la matriz no tiene inversa: dividir por un determinante de 0 no está definido, al igual que dividir un número entre 0.
Ejemplo resuelto: multiplicar dos matrices de 2×2
A = [[1,2],[3,4]] y B = [[5,6],[7,8]]:
A × B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
B × A = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B y B × A aterrizan en matrices completamente diferentes: prueba concreta de que la multiplicación de matrices no conmuta como lo hace la multiplicación de números ordinaria.
Cuando las operaciones matriciales no están definidas
| Operación | Requisito |
|---|---|
| Suma/resta | Ambas matrices deben tener dimensiones idénticas. |
| Multiplicación (A × B) | El recuento de columnas de A debe ser igual al recuento de filas de B |
| Inverso | La matriz debe ser cuadrada con un determinante distinto de cero. |
Errores comunes a evitar
- Suponiendo que A × B es igual a B × A como lo sería para los números ordinarios: el orden cambia el resultado y, a veces, solo se define un orden.
- Intentar sumar o restar matrices con diferentes dimensiones: ambas matrices necesitan números idénticos de filas y columnas.
- Intentar invertir una matriz no cuadrada o una cuyo determinante sea 0: ambos casos no tienen inversa válida.
- Al confundir la transposición (voltear filas y columnas) con la inversa (una operación completamente diferente que deshace la multiplicación), resuelven diferentes problemas.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de fórmula cuadrática — Resolver ecuaciones que las matrices también pueden representar como sistemas.
- Calculadora científica — manejar la aritmética individual detrás de cada entrada de la matriz.
- Calculadora de estadísticas — Analizar el tipo de datos tabulares que las matrices se utilizan a menudo para almacenar.
- Calculadora básica — Vuelva a verificar manualmente los pasos individuales de multiplicación y suma.