Krótka odpowiedź
Macierz to prostokątna siatka liczb. Dodawanie lub odejmowanie macierzy działa metodą wpis po wpisie, ale mnożenie dwóch macierzy powoduje połączenie wierszy pierwszej z kolumnami drugiej — nie przypomina to zwykłego mnożenia. Dwie macierze można pomnożyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy odpowiada liczbie wierszy drugiej macierzy.
Kluczowe wnioski
- Mnożenie macierzy nie jest przemienne — A × B zwykle nie równa się B × A, a jeden rząd może nawet nie zostać zdefiniowany.
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- Mnożenie macierzy przez macierz jednostkową pozostawia ją niezmienioną — macierzowy odpowiednik pomnożenia liczby przez 1.
- Wyznacznikiem macierzy 2×2 [[a,b],[c,d]] jest ad − bc — pojedyncza liczba, która pokazuje, czy macierz można odwrócić.
Wyznacznik 2×2 i wzory odwrotne
det([[a,b],[c,d]]) = reklama – bc
odwrotność = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]
Jeżeli ad − bc jest równe 0, to macierz nie ma odwrotności — dzielenie przez wyznacznik 0 jest nieokreślone, podobnie jak dzielenie liczby przez 0.
Sprawdzony przykład: mnożenie dwóch macierzy 2×2
A = [[1,2], [3,4]] i B = [[5,6], [7,8]]:
A × B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
B × A = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B i B × A lądują na zupełnie różnych macierzach — konkretny dowód na to, że mnożenie macierzy nie jest zamieniane w taki sam sposób, jak zwykłe mnożenie liczb.
Gdy operacje na macierzach są niezdefiniowane
| Działanie | Wymóg |
|---|---|
| Dodawanie / odejmowanie | Obie macierze muszą mieć identyczne wymiary |
| Mnożenie (A × B) | Liczba kolumn A musi być równa liczbie wierszy B |
| Odwrotność | Macierz musi być kwadratowa z niezerowym wyznacznikiem |
Typowe błędy, których należy unikać
- Zakładając, że A × B równa się B × A, tak jak w przypadku zwykłych liczb – kolejność zmienia wynik, a czasami definiuje się nawet tylko jeden porządek.
- Próba dodania lub odjęcia macierzy o różnych wymiarach — obie macierze wymagają identycznej liczby wierszy i kolumn.
- Próba odwrócenia macierzy niekwadratowej lub takiej, której wyznacznik wynosi 0 — w obu przypadkach nie ma prawidłowej odwrotności.
- Myląc transpozycję (odwracanie wierszy i kolumn) z odwrotnością (zupełnie inna operacja, która cofa mnożenie) - rozwiązują inne problemy.
Powiązane kalkulatory
- Kalkulator formuły kwadratowej — rozwiązywać równania, które macierze mogą również przedstawiać jako układy.
- Kalkulator naukowy — obsługuj indywidualną arytmetykę stojącą za każdym wpisem macierzy.
- Kalkulator statystyczny — przeanalizuj rodzaj tabelarycznych macierzy danych, które są często używane do przechowywania.
- Podstawowy kalkulator — dokładnie sprawdź ręcznie poszczególne kroki mnożenia i dodawania.