Krótka odpowiedź
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że a² + b² = c² dla dowolnego trójkąta prostokątnego, gdzie c to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, przeciwny do kąta prostego), a a, b to dwie nogi. Mając dwie dowolne strony, znajdź trzecią: c = √(a²+b²), aby znaleźć przeciwprostokątną, lub a = √(c²−b²), aby znaleźć nogę.
Kluczowe wnioski
- Twierdzenie ma zastosowanie tylko do trójkątów prostokątnych — trójkątów o dokładnie jednym kącie 90°.
- Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem i zawsze stoi samotnie po jednej stronie równania, nigdy w połączeniu z nogą pod tym samym pierwiastkiem kwadratowym.
- Trójki pitagorejskie (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) to rozwiązania w postaci liczb całkowitych, które stale pojawiają się w problemach geometrycznych i konstrukcjach w świecie rzeczywistym.
- Pomnożenie każdej strony trójki pitagorejskiej przez tę samą liczbę daje kolejną prawidłową trójkę — obie liczby 6-8-10 i 9-12-15 są skalowane od 3-4-5.
Rozwiązanie dla każdej strony
| Nieznany | Formuła |
|---|---|
| c (przeciwprostokątna) | c = √(a² + b²) |
| a (noga) | a = √(c² − b²) |
| b (noga) | b = √(c² − a²) |
Rozwiązanie dla nogi zawsze odejmuje pierwiastek kwadratowy, nigdy nie dodaje — noga jest krótsza niż przeciwprostokątna, więc usunięcie wkładu drugiej nogi z c² jest tym, co ją odzyskuje.
Typowe trójki pitagorejskie
| Potroić | Sprawdzać |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
Sprawdzony przykład: zasada konstrukcji 3-4-5
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
Konstruktorzy mierzą 3 stopy wzdłuż jednej ściany i 4 stopy wzdłuż prostopadłej ściany z tego samego narożnika, a następnie sprawdzają przekątną między tymi dwoma punktami. Przekątna wynosząca dokładnie 5 stóp potwierdza prawdziwy kąt prosty — nie jest potrzebny żaden kątomierz ani miernik kąta, wystarczy miarka i ta jedna tożsamość.
Typowe błędy, których należy unikać
- Zastosowanie a² + b² = c² do trójkąta, który w rzeczywistości nie jest prostokątny — tożsamość po prostu nie jest zachowana bez prawdziwego kąta 90°.
- Dodawanie zamiast odejmowania przy rozwiązywaniu nogi — noga pochodzi z c² − (druga noga)², a nie c² + (druga noga)².
- Błędne oznaczenie, która strona jest przeciwprostokątną — zawsze jest to strona przeciwna do kąta prostego i zawsze najdłuższa, niezależnie od tego, jak trójkąt jest rysowany lub obracany.
- Mieszanie jednostek przed kwadraturą — każda strona musi znajdować się w tej samej jednostce (wszystkie stopy lub wszystkie metry), zanim formuła da znaczący wynik.
Powiązane kalkulatory
- Kalkulator trójkąta prostokątnego — rozwiązać kąty i pole oprócz brakującego boku.
- Kalkulator odległości — zobacz to samo twierdzenie zastosowane do punktów współrzędnych zamiast boków trójkąta.
- Kalkulator trójkąta — pracuj z trójkątami, które nie są prostokątne.
- Kalkulator korzeni — sprawdź ręcznie krok pierwiastka kwadratowego.