Szybka odpowiedź
Wybierz tryb obliczeń pasujący do tego, co wiesz — trzy boki (SSS), dwa boki i kąt między nimi (SAS), dwa kąty i bok między nimi (ASA), dwa kąty i bok nieuwzględniony (AAS) lub dwa boki i kąt nieuwzględniony (SSA). Kalkulator stosuje zasadę cosinusów lub zasadę sinusów do obliczenia każdego pozostałego boku, kąta, pola i obwodu.
Kluczowe wnioski
- Do pełnego rozwiązania dowolny trójkąt wymaga dokładnie trzech znanych wartości (w prawidłowej kombinacji).
- Prawo cosinusów łączy trzy boki i jeden kąt; prawo sinusów łączy boki i kąty proporcjonalnie do sinusa ich przeciwnego kąta.
- Trzy kąty wewnętrzne zawsze sumują się dokładnie 180°, niezależnie od kształtu i wielkości trójkąta.
- Dane wejściowe SSA to jedyny przypadek, który może być niejednoznaczny — może opisywać zero, jeden lub dwa prawidłowe trójkąty.
- Wzór Herona wyznacza pole bezpośrednio z trzech stron, bez konieczności stosowania kąta.
Wybór metody: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA
Każdy tryb opisuje inną kombinację znanych boków i kątów. Dopasuj to, co masz do wiersza poniżej:
| Tryb | Wiesz | Rozwiązane z |
|---|---|---|
| SSS | Wszystkie trzy strony | Prawo cosinusów (kąty), wzór Herona (pole) |
| SAS | Dwie strony + kąt między nimi | Prawo cosinusów (trzecia strona), a następnie ponownie prawo cosinusów dla kątów |
| ASA | Dwa kąty + bok między nimi | Twierdzenie o sumie trójkątów (trzeci kąt), twierdzenie sinusów (boki) |
| AAS | Dwa kąty + bok nie znajdujący się pomiędzy nimi | Twierdzenie o sumie trójkątów (trzeci kąt), twierdzenie sinusów (boki) |
| SSA | Dwa boki + kąt nieuwzględniony | Prawo sinusów — może mieć 0, 1 lub 2 rozwiązania |
Prawo sinusów i prawo cosinusów
Prawo cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa na dowolny trójkąt:
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
Prawo sinusów wiąże każdą stronę z sinusem jej przeciwnego kąta:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Przykład praktyczny (ASA): Kąt A = 40°, bok c = 10, Kąt B = 60°
- Kąt C = 180° – 40° – 60° = 80°
- Strona a = c × sin(A) / sin(C) = 10 × sin(40°) / sin(80°) ≈ 6,53
- Strona b = c × sin(B) / sin(C) = 10 × sin(60°) / sin(80°) ≈ 8,79
- Powierzchnia = 0,5 × a × b × sin(C) ≈ 0,5 × 6,53 × 8,79 × sin(80°) ≈ 28,27
Niejednoznaczna sprawa SSA
Jeśli znasz dwa boki i kąt nieuwzględniony, wysokość h = b × sin(A) określa, ile trójkątów pasuje do tych wymiarów. Przykład: bok b = 10, kąt A = 30° (więc h = 10 × sin(30°) = 5):
| Strona a | Porównanie z h = 5 | Wynik |
|---|---|---|
| 4 | a < h | Żaden trójkąt nie istnieje |
| 5 | a = h | Dokładnie jeden trójkąt (trójkąt prostokątny) |
| 7 | h < a < b | Dwa możliwe trójkąty (niejednoznaczne) |
| 12 | a ≥ b | Dokładnie jeden trójkąt |
Ten kalkulator zwraca prawidłowy zestaw rozwiązań dla wprowadzonych danych; gdy dwa trójkąty są matematycznie możliwe, podaje rozwiązanie kąta ostrego.
Typowe błędy
- Wprowadzenie trzech boków, które naruszają nierówność trójkąta — dwa krótsze boki muszą sumować się więcej niż najdłuższy bok, w przeciwnym razie trójkąt nie może powstać.
- Mieszanie SAS i ASA — SAS potrzebuje kąta umieszczonego pomiędzy dwoma podanymi bokami, podczas gdy ASA potrzebuje boku umieszczonego pomiędzy dwoma podanymi kątami.
- Zapominając, że SSA może być niejednoznaczne i zakładając, że istnieje tylko jeden możliwy trójkąt.
- Praca w niewłaściwej jednostce kąta — ten kalkulator oczekuje stopni, a nie radianów.
Powiązane kalkulatory
- Kalkulator trójkąta prostokątnego — dla trójkątów o znanym kącie 90°
- Kalkulator twierdzenia Pitagorasa — do znalezienia brakującego boku trójkąta prostokątnego
- Kalkulator powierzchni — dla powierzchni trójkątów i innych kształtów
- Kalkulator odległości — dla odległości pomiędzy dwoma punktami współrzędnych