A resposta curta
A fórmula quadrática resolve qualquer equação da forma ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). O ± significa que existem duas soluções, encontradas adicionando e subtraindo o termo da raiz quadrada. O discriminante, b²−4ac, prevê que tipo de soluções esperar antes mesmo de terminar o cálculo.
Principais conclusões
- O discriminante (b²−4ac) visualiza o tipo de resposta: positivo significa duas raízes reais, zero significa uma raiz real repetida, negativo significa duas raízes complexas.
- O vértice, em x = −b/(2a), é o ponto mínimo da parábola se a > 0 ou seu ponto máximo se a < 0.
- A fatoração é mais rápida do que a fórmula quando uma fatoração quadrática fatora ordenadamente números inteiros, mas a fórmula sempre funciona, mesmo quando a fatoração não funciona.
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
A fórmula quadrática e o discriminante
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| Discriminante | Tipo de solução | Exemplo |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | Duas soluções reais | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | Uma solução real repetida | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | Duas soluções complexas | x²+x+1=0 |
Exemplo resolvido: resolvendo x² − 5x + 6 = 0
uma=1, b=−5, c=6
Discriminante = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 ou x = 2
Isso corresponde à fatoração direta da mesma equação: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), que é zero exatamente quando x = 2 ou x = 3 – a fórmula quadrática e a fatoração concordam, como sempre acontecerão.
Vértice e eixo de simetria
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2,5
y = (2,5)² − 5(2,5) + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25
Vértice = (2,5, −0,25)
Como a = 1 é positivo, esta parábola se abre para cima, então o vértice (2,5, −0,25) é o ponto mais baixo da curva – e fica exatamente no meio do caminho entre as duas raízes, 2 e 3, no eixo de simetria x = 2,5.
Erros comuns a evitar
- Esquecendo ± e reportando apenas uma raiz – cada quadrática com um discriminante positivo tem duas soluções distintas.
- Erros de sinal quando b é negativo - um b negativo torna −b positivo, uma fonte frequente de erros aritméticos.
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- Parando em x = −b/(2a) para o vértice e esquecendo de inseri-lo novamente na equação original para obter a coordenada y também.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora Raiz — verifique novamente o passo da raiz quadrada dentro da fórmula.
- Calculadora de Expoente — verifique os termos quadrados no discriminante.
- Calculadora Matriz — resolver sistemas de equações além de uma única quadrática.
- Calculadora Científica — lidar com cálculos algébricos e trigonométricos gerais.