A resposta curta
Uma matriz é uma grade retangular de números. A adição ou subtração de matrizes funciona entrada por entrada, mas a multiplicação de duas matrizes combina as linhas da primeira com as colunas da segunda – nada como a multiplicação regular. Duas matrizes só podem ser multiplicadas quando o número de colunas da primeira matriz corresponder ao número de linhas da segunda matriz.
Principais conclusões
- A multiplicação de matrizes não é comutativa – A × B geralmente não é igual a B × A, e uma ordem pode nem mesmo ser definida.
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- Multiplicar uma matriz pela matriz identidade deixa-a inalterada – a matriz equivalente a multiplicar um número por 1.
- O determinante de uma matriz 2×2 [[a,b],[c,d]] é ad − bc — um único número que revela se a matriz pode ser invertida.
Fórmulas determinantes e inversas 2×2
det([[a,b],[c,d]]) = anúncio - bc
inverso = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]
Se ad − bc for igual a 0, a matriz não tem inversa – dividir por um determinante de 0 é indefinido, assim como dividir um número por 0.
Exemplo resolvido: multiplicação de duas matrizes 2×2
A = [[1,2],[3,4]] e B = [[5,6],[7,8]]:
A × B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
B × A = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B e B × A caem em matrizes completamente diferentes - prova concreta de que a multiplicação de matrizes não comuta como a multiplicação de números comum.
Quando as operações de matriz são indefinidas
| Operação | Exigência |
|---|---|
| Adição/subtração | Ambas as matrizes devem ter dimensões idênticas |
| Multiplicação (A × B) | A contagem de colunas de A deve ser igual à contagem de linhas de B |
| Inverso | A matriz deve ser quadrada com um determinante diferente de zero |
Erros comuns a evitar
- Supondo que A × B seja igual a B × A da mesma forma que seria para números comuns - a ordem altera o resultado e, às vezes, apenas uma ordem é definida.
- Tentando adicionar ou subtrair matrizes com dimensões diferentes – ambas as matrizes precisam de contagens idênticas de linhas e colunas.
- Tentativa de inverter uma matriz não quadrada ou cujo determinante é 0 — ambos os casos não têm inversa válida.
- Confundindo transposição (inverter linhas e colunas) com inversa (uma operação totalmente diferente que desfaz a multiplicação) - eles resolvem problemas diferentes.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de Fórmula Quadrática — resolver equações que as matrizes também podem representar como sistemas.
- Calculadora Científica — lidar com a aritmética individual por trás de cada entrada da matriz.
- Calculadora de estatísticas — analisar o tipo de matrizes de dados tabulares que costumam ser usadas para armazenar.
- Calculadora Básica — verifique manualmente as etapas individuais de multiplicação e adição.