مختصر جواب
میٹرکس نمبروں کا ایک مستطیل گرڈ ہے۔ میٹرکس کو شامل کرنا یا گھٹانا اندراج کے حساب سے اندراج کا کام کرتا ہے، لیکن دو میٹرکس کو ضرب کرنے سے پہلی قطاروں کو دوسرے کے کالموں کے ساتھ جوڑ دیا جاتا ہے — باقاعدہ ضرب کی طرح کچھ نہیں۔ دو میٹرکس کو صرف اس وقت ضرب کیا جا سکتا ہے جب پہلے میٹرکس کے کالموں کی تعداد دوسرے میٹرکس کی قطاروں کی تعداد سے مماثل ہو۔
اہم نکات
- میٹرکس ضرب بدلنے والا نہیں ہے — A × B عام طور پر B × A کے برابر نہیں ہوتا ہے، اور ایک ترتیب کی وضاحت بھی نہیں کی جا سکتی ہے۔
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- میٹرکس کو شناختی میٹرکس سے ضرب کرنے سے یہ کوئی تبدیلی نہیں ہوتی — میٹرکس ایک عدد کو 1 سے ضرب کرنے کے برابر ہے۔
- 2×2 میٹرکس [[a,b],[c,d]] کا تعین کنندہ اشتہار − bc ہے — ایک واحد عدد جو یہ ظاہر کرتا ہے کہ آیا میٹرکس کو الٹا کیا جا سکتا ہے۔
2×2 تعین کن اور الٹا فارمولے۔
det([[a,b],[c,d]]) = اشتہار − bc
الٹا = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]
اگر اشتہار − bc 0 کے برابر ہے، تو میٹرکس کا کوئی الٹا نہیں ہے — 0 کے تعین کنندہ سے تقسیم کرنا غیر متعین ہے، بالکل اسی طرح جیسے کسی عدد کو 0 سے تقسیم کرنا۔
کام کی مثال: دو 2×2 میٹرکس کو ضرب دینا
A = [[1,2],[3,4]] اور B = [[5,6],[7,8]]:
A × B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
B × A = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B اور B × A مکمل طور پر مختلف میٹرکس پر زمین - اس بات کا ٹھوس ثبوت ہے کہ میٹرکس ضرب اس طرح نہیں بدلتی جس طرح عام عدد ضرب کرتا ہے۔
جب میٹرکس آپریشنز غیر متعینہ ہوں۔
| آپریشن | ضرورت |
|---|---|
| اضافہ / گھٹاؤ | دونوں میٹرکس کی جہتیں ایک جیسی ہونی چاہئیں |
| ضرب (A × B) | A کے کالم کی گنتی B کی قطار کی گنتی کے برابر ہونی چاہیے۔ |
| الٹا | میٹرکس کا مربع ہونا ضروری ہے جس میں غیر صفر کا تعین ہوتا ہے۔ |
عام غلطیوں سے بچنا ہے۔
- فرض کریں کہ A × B برابر B × A ہے جس طرح سے یہ عام نمبروں کے لیے ہو گا — ترتیب نتیجہ بدل دیتی ہے، اور بعض اوقات صرف ایک ترتیب کی وضاحت بھی کی جاتی ہے۔
- مختلف جہتوں کے ساتھ میٹرکس کو شامل یا گھٹانے کی کوشش کرنا — دونوں میٹرکس کو ایک جیسی قطار اور کالم کی گنتی کی ضرورت ہے۔
- ایک غیر مربع میٹرکس کو الٹنے کی کوشش کرنا، یا جس کا تعین کنندہ 0 ہے — دونوں صورتوں میں کوئی درست معکوس نہیں ہے۔
- الٹا کے ساتھ الجھانے والے ٹرانسپوز (قطاروں اور کالموں کو پلٹائیں) (ایک بالکل مختلف آپریشن جو ضرب کو کالعدم کرتا ہے) - یہ مختلف مسائل حل کرتے ہیں۔
متعلقہ کیلکولیٹر
- چوکور فارمولہ کیلکولیٹر — ان مساواتوں کو حل کریں جو میٹرکس بھی بطور نظام کی نمائندگی کر سکتی ہیں۔
- سائنسی کیلکولیٹر — ہر میٹرکس اندراج کے پیچھے انفرادی ریاضی کو ہینڈل کریں۔
- شماریات کیلکولیٹر — تجزیہ کریں کہ کس قسم کے ٹیبلر ڈیٹا میٹرکس کو اکثر ذخیرہ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔
- بنیادی کیلکولیٹر — ہاتھ سے انفرادی ضرب اور اضافے کے مراحل کو دو بار چیک کریں۔