الجواب القصير
تنص نظرية فيثاغورس على أن a² + b² = c² لأي مثلث قائم الزاوية، حيث c هو الوتر (الضلع الأطول، المقابل للزاوية القائمة) وa، b هما الضلعان. بالنظر إلى أي ضلعين، أوجد الضلع الثالث: c = √(a²+b²) لإيجاد الوتر، أو a = √(c²−b²) لإيجاد الضلع.
الوجبات السريعة الرئيسية
- تنطبق النظرية فقط على المثلثات القائمة، أي المثلثات التي لها زاوية واحدة قياسها 90 درجة.
- الوتر هو دائمًا الضلع الأطول ويقف دائمًا بمفرده في أحد طرفي المعادلة، ولا يتم دمجه مطلقًا مع ساق تحت نفس الجذر التربيعي.
- ثلاثية فيثاغورس (3-4-5، 5-12-13، 8-15-17) هي حلول الأعداد الصحيحة التي تظهر باستمرار في المسائل الهندسية والبناء في العالم الحقيقي.
- ضرب كل جانب من ثلاثية فيثاغورس بنفس الرقم ينتج ثلاثية صحيحة أخرى - 6-8-10 و9-12-15 كلاهما متدرجان من 3-4-5.
حل لكل جانب
| مجهول | صيغة |
|---|---|
| ج (الوتر) | c = √(a² + b²) |
| أ (الساق) | a = √(c² − b²) |
| ب (الساق) | b = √(c² − a²) |
حل مشكلة الساق يتم طرحها دائمًا تحت الجذر التربيعي، ولا يتم جمعها أبدًا - الساق أقصر من الوتر، لذا فإن إزالة مساهمة الساق الأخرى من c² هو ما يستعيدها.
ثلاثية فيثاغورس الشائعة
| ثلاثية | يفحص |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
مثال عملي: قاعدة البناء 3-4-5
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
يقيس البناؤون 3 أقدام على طول جدار واحد و4 أقدام على طول جدار متعامد من نفس الزاوية، ثم يتحققون من القطر بين هاتين النقطتين. يؤكد القطر الذي يبلغ 5 أقدام بالضبط وجود زاوية قائمة حقيقية - لا حاجة إلى منقلة أو مكتشف زاوية، فقط شريط قياس وهذه الهوية الوحيدة.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- تطبيق a² + b² = c² على مثلث ليس قائم الزاوية في الواقع - الهوية ببساطة لا تصمد بدون زاوية حقيقية قدرها 90 درجة.
- الجمع بدلاً من الطرح عند الحل لإيجاد الساق — الساق تأتي من c² − (الضلع الآخر)²، وليس c² + (الضلع الآخر)².
- الخطأ في تسمية الضلع الذي يمثل الوتر - فهو دائمًا الجانب المقابل للزاوية القائمة ودائمًا هو الأطول، بغض النظر عن كيفية رسم المثلث أو تدويره.
- خلط الوحدات قبل التربيع - يجب أن يكون كل جانب في نفس الوحدة (كل الأقدام، أو كل الأمتار) قبل أن تعطي الصيغة نتيجة ذات معنى.
الآلات الحاسبة ذات الصلة
- حاسبة المثلث الأيمن — حل الزوايا والمساحة بالإضافة إلى الجانب المفقود.
- حاسبة المسافة — انظر نفس النظرية المطبقة على نقاط الإحداثيات بدلاً من جوانب المثلث.
- حاسبة المثلث — العمل مع المثلثات التي ليست قائمة الزاوية.
- حاسبة الجذر — تحقق جيدًا من خطوة الجذر التربيعي يدويًا.