الجواب القصير
تحل الصيغة التربيعية أي معادلة بالشكل ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). يعني ± أن هناك حلين، يتم إيجادهما عن طريق إضافة حد الجذر التربيعي ثم طرحه. يقوم المُميز، b²−4ac، بمعاينة نوع الحلول المتوقعة حتى قبل الانتهاء من العملية الحسابية.
الوجبات السريعة الرئيسية
- يقوم المميز (b²−4ac) بمعاينة نوع الإجابة: موجب يعني جذرين حقيقيين، صفر يعني جذرًا حقيقيًا متكررًا، وسالبًا يعني جذرين معقدين.
- الرأس، عند x = −b/(2a)، هو النقطة الدنيا للقطع المكافئ إذا كانت a > 0 أو النقطة القصوى إذا كانت a <0.
- يكون التحليل أسرع من الصيغة عندما يتم تحليل المعادلة التربيعية بدقة على الأعداد الصحيحة، لكن الصيغة تعمل دائمًا، حتى عندما لا يعمل التحليل.
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
الصيغة التربيعية والمميز
س = (−ب ± √(ب² − 4أ)) / (2أ)
| مميز | نوع الحل | مثال |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | اثنين من الحلول الحقيقية | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | حل حقيقي واحد متكرر | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | حلان معقدان | x²+x+1=0 |
مثال عملي: حل x² − 5x + 6 = 0
أ=1، ب=−5، ج=6
المميز = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
س = (5 ± 1) / 2 → س = 3 أو س = 2
يطابق هذا تحليل المعادلة نفسها مباشرةً: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)، وهو ما يساوي صفرًا تمامًا عندما يكون x = 2 أو x = 3 — تتفق الصيغة التربيعية مع التحليل، كما هو الحال دائمًا.
قمة ومحور التماثل
س = −ب/(2أ) = −(−5)/(2×1) = 2.5
ص = (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25
قمة الرأس = (2.5، −0.25)
بما أن a = 1 موجبة، فإن هذا القطع المكافئ ينفتح لأعلى، وبالتالي فإن الرأس (2.5، −0.25) هو أدنى نقطة على المنحنى - ويقع تمامًا في منتصف المسافة بين الجذرين، 2 و3، على محور التماثل x = 2.5.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- نسيان ± والإبلاغ عن جذر واحد فقط - كل معادلة تربيعية ذات مميز إيجابي لها حلان متميزان.
- أخطاء الإشارة عندما تكون b سالبة - فإن b السالبة تجعل −b موجبة، وهو مصدر متكرر للأخطاء الحسابية.
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- التوقف عند x = −b/(2a) للقمة ونسيان توصيلها مرة أخرى بالمعادلة الأصلية للحصول على إحداثي y أيضًا.
الآلات الحاسبة ذات الصلة
- حاسبة الجذر — تحقق جيدًا من خطوة الجذر التربيعي داخل الصيغة.
- حاسبة الأس — التحقق من الحدود التربيعية في المميز.
- حاسبة المصفوفة — حل أنظمة المعادلات خارج المعادلة التربيعية الواحدة.
- الحاسبة العلمية — التعامل مع الحسابات الجبرية والمثلثية العامة.