الجواب القصير
المصفوفة عبارة عن شبكة مستطيلة من الأرقام. تعمل إضافة المصفوفات أو طرحها على الدخول تلو الآخر، لكن ضرب مصفوفتين يجمع صفوف المصفوفة الأولى مع أعمدة الثانية، ولا شيء يشبه الضرب العادي. لا يمكن ضرب مصفوفتين إلا عندما يتطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية.
الوجبات السريعة الرئيسية
- ضرب المصفوفة ليس تبادليًا — A × B عادةً لا يساوي B × A، وربما لا يتم تعريف ترتيب واحد.
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- إن ضرب مصفوفة في مصفوفة الهوية يتركها دون تغيير - وهي المصفوفة المكافئة لضرب رقم في 1.
- محدد المصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]] هو ad − bc — وهو رقم واحد يكشف ما إذا كان من الممكن قلب المصفوفة.
الصيغ المحددة والعكسية 2×2
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc
معكوس = (1/ديت) × [[د،−ب]،[−ج،أ]]
إذا كان ad − bc يساوي 0، فليس للمصفوفة معكوس - فالقسمة على محدد 0 غير محددة، تمامًا مثل قسمة رقم على 0.
مثال عملي: ضرب مصفوفتين 2×2
أ = [[1،2]،[3،4]] و ب = [[5،6]،[7،8]]:
أ × ب = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
ب × أ = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B وB × A يقعان على مصفوفتين مختلفتين تمامًا - وهو دليل ملموس على أن ضرب المصفوفات لا يتم تبديله بالطريقة التي يحدث بها ضرب الأرقام العادية.
عندما تكون عمليات المصفوفة غير محددة
| عملية | متطلبات |
|---|---|
| الجمع / الطرح | يجب أن يكون لكلا المصفوفتين أبعاد متطابقة |
| الضرب (أ × ب) | يجب أن يساوي عدد الأعمدة في A عدد الصفوف في B |
| معكوس | يجب أن تكون المصفوفة مربعة ومحددها غير صفري |
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- بافتراض أن A × B يساوي B × A كما هو الحال بالنسبة للأرقام العادية، فإن الترتيب يغير النتيجة، وفي بعض الأحيان يتم تحديد ترتيب واحد فقط.
- محاولة جمع أو طرح مصفوفات بأبعاد مختلفة - تحتاج كلتا المصفوفتين إلى عدد متماثل من الصفوف والأعمدة.
- محاولة قلب مصفوفة غير مربعة، أو مصفوفة محددها 0 - كلتا الحالتين ليس لها معكوس صحيح.
- الخلط بين النقل (قلب الصفوف والأعمدة) مع العكس (عملية مختلفة تمامًا تؤدي إلى إلغاء الضرب) - فهم يحلون مشكلات مختلفة.
الآلات الحاسبة ذات الصلة
- حاسبة الصيغة التربيعية — حل المعادلات التي يمكن أن تمثلها المصفوفات أيضًا كأنظمة.
- الحاسبة العلمية — التعامل مع الحساب الفردي وراء كل إدخال في المصفوفة.
- حاسبة الإحصائيات — التحليل هو نوع مصفوفات البيانات الجدولية التي تستخدم غالبًا للتخزين.
- الآلة الحاسبة الأساسية — تحقق جيدًا من خطوات الضرب والجمع الفردية يدويًا.