Краткият отговор
Питагоровата теорема казва a² + b² = c² за всеки правоъгълен триъгълник, където c е хипотенузата (най-дългата страна, срещу правия ъгъл), а a, b са двата катета. Дадени са две страни, решете третата: c = √(a²+b²), за да намерите хипотенузата, или a = √(c²−b²), за да намерите катет.
Key takeaways
- Теоремата се отнася само за правоъгълни триъгълници - триъгълници с точно един ъгъл от 90°.
- Хипотенузата винаги е най-дългата страна и винаги стои сама от едната страна на уравнението, никога не се комбинира с катет под същия квадратен корен.
- Питагоровите тройки (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) са цели числа, които се появяват постоянно в геометрични проблеми и конструиране в реалния свят.
- Умножаването на всяка страна на питагорова тройка по едно и също число произвежда друга валидна тройка — 6-8-10 и 9-12-15 са мащабирани от 3-4-5.
Решаване за всяка страна
| неизвестен | Формула |
|---|---|
| c (хипотенуза) | c = √(a² + b²) |
| а (крак) | a = √(c² − b²) |
| b (крак) | b = √(c² − a²) |
Решаването за катет винаги изважда под квадратния корен, никога не добавя — катетът е по-къс от хипотенузата, така че премахването на приноса на другия катет от c² е това, което го възстановява.
Често срещани питагорови тройки
| Тройна | Проверете |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
Работен пример: правилото за конструиране 3-4-5
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
Строителите измерват 3 фута по една стена и 4 фута по перпендикулярна стена от същия ъгъл, след което проверяват диагонала между тези две точки. Диагонал от точно 5 фута потвърждава истински прав ъгъл — не е необходим транспортир или ъгломер, само рулетка и тази идентичност.
Често срещани грешки, които трябва да избягвате
- Прилагането на a² + b² = c² към триъгълник, който всъщност не е правоъгълен — идентичността просто не се поддържа без истински ъгъл от 90°.
- Добавяне вместо изваждане при решаване на крак — крак идва от c² − (друг крак)², а не c² + (друг крак)².
- Погрешно обозначаване коя страна е хипотенузата — тя винаги е страната срещу правия ъгъл и винаги е най-дългата, независимо как е начертан или завъртян триъгълникът.
- Смесване на единици преди повдигане на квадрат — всяка страна трябва да бъде в една и съща единица (всички футове или всички метри), преди формулата да даде значим резултат.
Свързани калкулатори
- Калкулатор за правоъгълен триъгълник — решете за ъгли и площ в допълнение към липсващата страна.
- Калкулатор за разстояние — вижте същата теорема, приложена към координатни точки вместо страни на триъгълник.
- Триъгълен калкулатор — работа с триъгълници, които не са под прав ъгъл.
- Корен калкулатор — проверете квадратния корен стъпка на ръка.