Краткият отговор
Правоъгълният триъгълник има един ъгъл от 90°, като хипотенузата винаги е срещу него (и винаги най-дългата страна). Тригонометрията свързва острите ъгли със съотношенията на страните: sin θ = противоположен/хипотенуза, cos θ = съседен/хипотенуза, tan θ = противоположен/съседен (SOH-CAH-TOA). Дадени са две страни или една страна и един остър ъгъл, можете да решите всичко останало.
Key takeaways
- Двата остри ъгъла в правоъгълен триъгълник винаги се събират до 90° — намерете единия и другият следва незабавно чрез изваждане.
- SOH-CAH-TOA е инструментът за решаване на триъгълник, когато знаете ъгъл плюс една страна, а не две страни — този случай изисква вместо това Питагоровата теорема.
- Площта на правоъгълен триъгълник е просто половината от произведението на двата крака: A = ½ab, тъй като самите крака вече образуват прав ъгъл.
- Триъгълникът никога не може да има два прави ъгъла - сборът на трите ъгъла трябва да е 180°, без да остава място за втори 90°.
SOH-CAH-TOA с един поглед
| Съотношение | Формула | Мнемоника |
|---|---|---|
| sin θ | opposite / hypotenuse | SOH |
| cos θ | adjacent / hypotenuse | CAH |
| tan θ | opposite / adjacent | TOA |
Работен пример: решаване от ъгъл и страна
Ъгъл A = 30°, хипотенуза c = 10. Намерете двата катета и оставащия ъгъл.
a = c × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5
b = c × cos(30°) = 10 × 0,866 ≈ 8,66
Ъгъл B = 90° − 30° = 60°
Проверете с Питагоровата теорема: 5² + 8,66² ≈ 25 + 75 = 100 = 10² — потвърждавайки, че тригонометричният резултат съответства на страните на триъгълника.
Формули за площ и периметър
Площ = ½ × a × b = ½ × 5 × 8,66 ≈ 21,65
Периметър = a + b + c = 5 + 8,66 + 10 = 23,66
Тъй като двата катета на правоъгълен триъгълник вече се срещат под ъгъл от 90°, те се удвояват директно като основа и височина — не е необходимо отделно изчисляване на височината, за разлика от другите типове триъгълници.
Често срещани грешки, които трябва да избягвате
- Използването на тангенс, когато е включена хипотенузата — tan свързва двата катета един с друг, а не с хипотенузата.
- Mixing up "opposite" and "adjacent" — these labels depend on which acute angle you're using, even though the hypotenuse itself never changes.
- Забравихте да проверите градус спрямо режим радиан, преди да изчислите sin, cos или tan на ръка или с отделен калкулатор.
- Searching for a separate "height" for the area formula — in a right triangle, the two legs already serve as base and height.
Свързани калкулатори
- Калкулатор на Питагоровата теорема — открийте липсващата страна, когато познавате другите две страни директно.
- Триъгълен калкулатор — работа с триъгълници, които не са под прав ъгъл.
- Калкулатор за разстояние — вижте същата логика на десен триъгълник, приложена към координатни точки.
- Научен калкулатор — изчисляване на синус, косинус и тангенс директно за всеки ъгъл.