Quick answer
Изберете режима на изчисление, който съответства на това, което знаете — три страни (SSS), две страни и ъгълът между тях (SAS), два ъгъла и страната между тях (ASA), два ъгъла и невключена страна (AAS) или две страни и невключен ъгъл (SSA). Калкулаторът прилага закона за косинусите или закона за синусите, за да реши всяка оставаща страна, ъгъл, площ и периметър.
Key takeaways
- Всеки триъгълник се нуждае от точно три известни стойности (във валидна комбинация), за да бъде напълно решен.
- Законът за косинусите свързва три страни и един ъгъл; законът на синусите свързва страните и ъглите пропорционално на синуса на противоположния им ъгъл.
- Сумата на трите вътрешни ъгъла винаги е точно 180°, независимо от формата или размера на триъгълника.
- SSA input is the one case that can be ambiguous — it may describe zero, one, or two valid triangles.
- Heron's formula finds area directly from three sides, without needing any angle.
Избор на метод: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA
Всеки режим описва различна комбинация от известни страни и ъгли. Свържете това, което имате с ред по-долу:
| Mode | You know | Решен с |
|---|---|---|
| SSS | И трите страни | Закон на косинусите (ъгли), формула на Херон (площ) |
| SAS | Две страни + ъгълът между тях | Косинус (трета страна), след това отново косинус за ъгли |
| ASA | Два ъгъла + страната между тях | Теорема за сбора на триъгълника (трети ъгъл), Закон на синусите (страни) |
| AAS | Two angles + a side not between them | Теорема за сбора на триъгълника (трети ъгъл), Закон на синусите (страни) |
| SSA | Две страни + невключен ъгъл | Закон на синусите — може да има 0, 1 или 2 решения |
Закон за синусите и закон за косинусите
The Law of Cosines generalizes the Pythagorean theorem to any triangle:
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
The Law of Sines relates each side to the sine of its opposite angle:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Работен пример (ASA): Ъгъл A = 40°, страна c = 10, Ъгъл B = 60°
- Ъгъл C = 180° − 40° − 60° = 80°
- Страна a = c × sin(A) / sin(C) = 10 × sin(40°) / sin(80°) ≈ 6,53
- Side b = c × sin(B) / sin(C) = 10 × sin(60°) / sin(80°) ≈ 8.79
- Area = 0.5 × a × b × sin(C) ≈ 0.5 × 6.53 × 8.79 × sin(80°) ≈ 28.27
The ambiguous SSA case
Когато знаете две страни и невключен ъгъл, височината h = b × sin(A) определя колко триъгълника отговарят на тези измервания. Пример: страна b = 10, ъгъл A = 30° (така че h = 10 × sin(30°) = 5):
| Страна а | Сравнение с h = 5 | Резултат |
|---|---|---|
| 4 | a < h | Триъгълник не съществува |
| 5 | a = h | Точно един триъгълник (правоъгълен триъгълник) |
| 7 | h < a < b | Два възможни триъгълника (двусмислени) |
| 12 | a ≥ b | Точно един триъгълник |
Този калкулатор връща валидния набор от решения за вашите входове; когато два триъгълника са математически възможни, той отчита решението за остър ъгъл.
Често срещани грешки
- Въвеждане на три страни, които нарушават неравенството на триъгълника — сумата на двете по-къси страни трябва да е повече от най-дългата страна, в противен случай не може да се образува триъгълник.
- Смесване на SAS и ASA — SAS се нуждае от ъгъла, поставен между двете дадени страни, докато ASA се нуждае от страната, поставена между двата дадени ъгъла.
- Забравяйки, че SSA може да бъде двусмислен и приемайки, че има само един възможен триъгълник.
- Работете в грешна единица за ъгъл — този калкулатор очаква градуси, а не радиани.
Свързани калкулатори
- Калкулатор за правоъгълен триъгълник — за триъгълници с известен ъгъл от 90°
- Калкулатор на Питагоровата теорема — за намиране на липсваща страна на правоъгълен триъгълник
- Калкулатор за площ — за площ на триъгълници и други форми
- Калкулатор за разстояние — за разстоянието между две координатни точки