Die kurze Antwort
Die Standardabweichung misst, wie weit die Daten um den Mittelwert verteilt sind, und zwar in den gleichen Einheiten wie die Originaldaten. Berechnen Sie es, indem Sie die quadratische Abweichung jedes Werts vom Mittelwert ermitteln, den Durchschnitt dieser quadratischen Abweichungen (Varianz) bilden und dann die Quadratwurzel ziehen. Eine enge Wertegruppe ergibt eine kleine SD; Weit gestreute Werte ergeben eine große SD.
Wichtige Erkenntnisse
- Die Stichproben-SD wird durch (n−1) dividiert, nicht durch n – Bessels Korrektur – um eine systematische Unterschätzung der tatsächlichen Populationsverteilung zu vermeiden.
- Die Standardabweichung hat dieselben Einheiten wie die Originaldaten. Die Varianz wird in quadratischen Einheiten angegeben, weshalb normalerweise SD und nicht die Varianz angegeben wird.
- Die empirische Regel (68-95-99,7) gilt nur für ungefähr glockenförmige (normale) Daten – sie gilt nicht für schiefe oder multimodale Verteilungen.
- Durch die Quadrierung der Abweichungen vor der Mittelwertbildung (anstatt nur die Durchschnittswerte der absoluten Abweichungen zu ermitteln) werden größere Abweichungen stärker bestraft, weshalb Varianz und SD zum Standardmaß für die Streuung wurden.
Die Standardabweichungsformel, Schritt für Schritt
| Schritt | Aktion |
|---|---|
| 1 | Ermitteln Sie den Mittelwert des Datensatzes |
| 2 | Subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem Wert (die Abweichung). |
| 3 | Quadrieren Sie jede Abweichung |
| 4 | Mitteln Sie die quadrierten Abweichungen (dividieren Sie durch n oder n−1) – das ist die Varianz |
| 5 | Ziehen Sie die Quadratwurzel der Varianz – das ist die Standardabweichung |
Stichprobe vs. Grundgesamtheit: die n−1-Korrektur
Für den Datensatz {2, 4, 6, 8} ist der Mittelwert = 5 und die quadratischen Abweichungen sind 9, 1, 1, 9 (Summe = 20):
Populationsvarianz = 20 ÷ 4 = 5 → Population SD = √5 ≈ 2,236
Stichprobenvarianz = 20 ÷ 3 ≈ 6,667 → Stichproben-SD = √6,667 ≈ 2,582
Die Stichprobenversion ist immer gleich oder größer als die Populationsversion für dieselben Daten – eine Division durch eine kleinere Zahl (n−1 statt n) erhöht die Schätzung leicht und korrigiert die Tatsache, dass eine Stichprobe dazu neigt, die wahre Streuung der Gesamtpopulation zu unterschätzen.
Die empirische Regel für normale Daten
| Reichweite | % der Daten (Normalverteilung) |
|---|---|
| Mittelwert ± 1 SD | 68% |
| Mittelwert ± 2 SD | 95% |
| Mittelwert ± 3 SD | 99.7% |
Bei dieser Regel handelt es sich um eine schnelle Plausibilitätsprüfung für glockenförmige Daten, nicht um ein universelles Gesetz – sie funktioniert nicht bei verzerrten, multimodalen oder stark ausgeprägten Verteilungen.
Häufige Fehler, die es zu vermeiden gilt
- Vergessen Sie den letzten Quadratwurzelschritt – Varianz und Standardabweichung werden häufig verwechselt, sind aber nicht austauschbar, da sie unterschiedliche Einheiten haben.
- Wenn Sie die Populationsformel (÷n) verwenden, wenn Sie versuchen, die Ausbreitung einer Population anhand einer Stichprobe abzuschätzen, wird die tatsächliche Variabilität unterschätzt.
- Wenn man die empirische Regel auf Daten anwendet, die nicht grob glockenförmig sind, folgen verzerrte Daten nicht dem Muster 68-95-99,7.
- Berechnung von Abweichungen vom Median statt vom Mittelwert – die Standardabweichung wird speziell um den Mittelwert herum definiert.
Verwandte Rechner
- Durchschnittsrechner — Berechnen Sie den Mittelwert, den dieser Rechner in der Umgebung misst.
- Mittelwert-, Median-, Modus- und Bereichsrechner — erhalten Sie neben SD ein umfassenderes statistisches Bild.
- Konfidenzintervall-Rechner — Verwenden Sie SD, um eine Bereichsschätzung für den Bevölkerungsmittelwert zu erstellen.
- Z-Score-Rechner — Sehen Sie, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert abweicht.