संक्षिप्त उत्तर
पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए a² + b² = c², जहां c कर्ण है (सबसे लंबी भुजा, समकोण के विपरीत) और a, b दो पैर हैं। किन्हीं दो भुजाओं को देखते हुए, तीसरे के लिए हल करें: कर्ण ज्ञात करने के लिए c = √(a²+b²), या पैर ज्ञात करने के लिए a = √(c²−b²)।
चाबी छीनना
- प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है - बिल्कुल एक 90° कोण वाले त्रिभुज।
- कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है और हमेशा समीकरण के एक तरफ अकेला खड़ा होता है, कभी भी समान वर्गमूल के नीचे एक पैर के साथ संयुक्त नहीं होता है।
- पायथागॉरियन त्रिक (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) पूर्ण-संख्या समाधान हैं जो ज्यामिति समस्याओं और वास्तविक दुनिया के निर्माण में लगातार दिखाई देते हैं।
- पाइथागोरस त्रिक के प्रत्येक पक्ष को समान संख्या से गुणा करने पर एक और वैध त्रिक बनता है - 6-8-10 और 9-12-15 दोनों को 3-4-5 से स्केल किया जाता है।
प्रत्येक पक्ष के लिए समाधान
| अज्ञात | FORMULA |
|---|---|
| सी (कर्ण) | c = √(a² + b²) |
| एक पांव) | a = √(c² − b²) |
| बी (पैर) | b = √(c² − a²) |
एक पैर को हल करते समय हमेशा वर्गमूल के नीचे घटाया जाता है, कभी नहीं जोड़ा जाता है - एक पैर कर्ण से छोटा होता है, इसलिए दूसरे पैर के योगदान को c² से हटाने से इसे पुनः प्राप्त होता है।
सामान्य पायथागॉरियन त्रिक
| ट्रिपल | जाँच करना |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
कार्यान्वित उदाहरण: 3-4-5 निर्माण नियम
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
बिल्डर्स एक दीवार के साथ 3 फीट और एक ही कोने से लंबवत दीवार के साथ 4 फीट मापते हैं, फिर उन दो बिंदुओं के बीच विकर्ण की जांच करते हैं। बिल्कुल 5 फीट का विकर्ण सही समकोण की पुष्टि करता है - किसी चांदे या कोण खोजक की आवश्यकता नहीं, बस एक टेप माप और यह एक पहचान।
बचने योग्य सामान्य गलतियाँ
- एक ऐसे त्रिभुज पर a² + b² = c² लगाना जो वास्तव में समकोण नहीं है - पहचान वास्तविक 90° कोण के बिना नहीं टिकती।
- एक पैर को हल करते समय घटाने के बजाय जोड़ना - एक पैर c² - (अन्य पैर)² से आता है, c² + (अन्य पैर)² से नहीं।
- कर्ण कौन सी भुजा है, इसका गलत लेबल लगाना - यह हमेशा समकोण के विपरीत भुजा होती है और हमेशा सबसे लंबी होती है, भले ही त्रिभुज को कैसे भी खींचा या घुमाया गया हो।
- वर्ग करने से पहले इकाइयों को मिलाना - सूत्र के सार्थक परिणाम देने से पहले प्रत्येक पक्ष को एक ही इकाई (सभी फ़ुट, या सभी मीटर) में होना चाहिए।
संबंधित कैलकुलेटर
- समकोण त्रिभुज कैलकुलेटर — लुप्त भुजा के अलावा कोणों और क्षेत्रफल को भी हल करें।
- दूरी कैलकुलेटर — त्रिभुज की भुजाओं के बजाय समन्वय बिंदुओं पर लागू समान प्रमेय देखें।
- त्रिकोण कैलकुलेटर — उन त्रिभुजों के साथ काम करें जो समकोण नहीं हैं।
- रूट कैलकुलेटर — वर्गमूल को हाथ से चरणबद्ध तरीके से दोबारा जांचें।