संक्षिप्त उत्तर
द्विघात सूत्र ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a) के रूप के किसी भी समीकरण को हल करता है। ± का अर्थ है कि दो समाधान हैं, जो वर्गमूल पद को जोड़ने और फिर घटाने से प्राप्त होते हैं। विवेचक, b²−4ac, यह पूर्वावलोकन करता है कि गणना समाप्त करने से पहले आपको किस प्रकार के समाधान की अपेक्षा करनी चाहिए।
चाबी छीनना
- विवेचक (b²−4ac) उत्तर प्रकार का पूर्वावलोकन करता है: सकारात्मक का अर्थ है दो वास्तविक जड़ें, शून्य का अर्थ है एक दोहराई गई वास्तविक जड़, नकारात्मक का अर्थ है दो जटिल जड़ें।
- शीर्ष, x = −b/(2a) पर, परवलय का न्यूनतम बिंदु है यदि a > 0 या इसका अधिकतम बिंदु यदि a < 0 है।
- जब एक द्विघात पूर्णांकों पर स्पष्ट रूप से गुणनखंड करता है, तो गुणनखंडन सूत्र की तुलना में तेज़ होता है, लेकिन सूत्र हमेशा काम करता है, तब भी जब गुणनखंडन नहीं होता है।
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
द्विघात सूत्र और विभेदक
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| विभेदक | समाधान प्रकार | उदाहरण |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | दो वास्तविक समाधान | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | एक बार दोहराया गया वास्तविक समाधान | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | दो जटिल समाधान | x²+x+1=0 |
व्यावहारिक उदाहरण: x² − 5x + 6 = 0 को हल करना
a=1, b=−5, c=6
विवेचक = (−5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 या x = 2
यह सीधे उसी समीकरण को फ़ैक्टर करने से मेल खाता है: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), जो बिल्कुल शून्य है जब x = 2 या x = 3 - द्विघात सूत्र और फ़ैक्टरिंग सहमत होते हैं, जैसा कि वे हमेशा करेंगे।
समरूपता का शीर्ष और अक्ष
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2.5
y = (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25
शीर्ष = (2.5, −0.25)
चूँकि a = 1 सकारात्मक है, यह परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए शीर्ष (2.5, −0.25) वक्र पर सबसे निचला बिंदु है - और यह समरूपता x = 2.5 के अक्ष पर दो जड़ों, 2 और 3 के ठीक बीच में स्थित है।
बचने योग्य सामान्य गलतियाँ
- ± को भूल जाना और केवल एक मूल की रिपोर्ट करना - सकारात्मक विभेदक वाले प्रत्येक द्विघात के दो अलग-अलग समाधान होते हैं।
- जब b ऋणात्मक हो तो त्रुटियों पर हस्ताक्षर करें - एक ऋणात्मक b −b को धनात्मक बनाता है, जो अंकगणितीय गलतियों का लगातार स्रोत है।
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- शीर्ष के लिए x = −b/(2a) पर रुकना और y-निर्देशांक प्राप्त करने के लिए इसे वापस मूल समीकरण में प्लग करना भूल जाना।
संबंधित कैलकुलेटर
- रूट कैलकुलेटर — सूत्र के अंदर वर्गमूल चरण को दोबारा जांचें।
- घातांक कैलक्यूलेटर — विवेचक में वर्गांकित पदों को सत्यापित करें।
- मैट्रिक्स कैलकुलेटर — एकल द्विघात से परे समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।
- वैज्ञानिक कैलकुलेटर — सामान्य बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय गणनाएँ संभालें।