La risposta breve
Una matrice è una griglia rettangolare di numeri. L'aggiunta o la sottrazione di matrici funziona voce per voce, ma la moltiplicazione di due matrici combina le righe della prima con le colonne della seconda, niente a che vedere con la moltiplicazione regolare. Due matrici possono essere moltiplicate solo quando il numero di colonne della prima matrice corrisponde al numero di righe della seconda matrice.
Punti chiave
- La moltiplicazione di matrici non è commutativa: A × B di solito non è uguale a B × A e un ordine potrebbe non essere nemmeno definito.
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- Moltiplicando una matrice per la matrice identità la lascia invariata: l'equivalente matriciale di moltiplicare un numero per 1.
- Il determinante di una matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] è ad − bc — un singolo numero che rivela se la matrice può essere invertita.
Determinante 2×2 e formule inverse
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc
inverse = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]
Se ad − bc è uguale a 0, la matrice non ha inversa: la divisione per un determinante pari a 0 non è definita, proprio come la divisione di un numero per 0.
Esempio realizzato: moltiplicazione di due matrici 2×2
A = [[1,2],[3,4]] e B = [[5,6],[7,8]]:
A × B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
B × A = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B e B × A si trovano su matrici completamente diverse: la prova concreta che la moltiplicazione di matrici non commuta come fa la moltiplicazione di numeri ordinari.
Quando le operazioni sulle matrici non sono definite
| Operazione | Requisito |
|---|---|
| Addizione/sottrazione | Entrambe le matrici devono avere dimensioni identiche |
| Moltiplicazione (A × B) | Il conteggio delle colonne di A deve essere uguale al conteggio delle righe di B |
| Inverso | La matrice deve essere quadrata con un determinante diverso da zero |
Errori comuni da evitare
- Supponendo che A × B sia uguale a B × A come farebbe per i numeri ordinari, l'ordine cambia il risultato e talvolta viene addirittura definito un solo ordine.
- Cercando di aggiungere o sottrarre matrici con dimensioni diverse: entrambe le matrici necessitano di conteggi di righe e colonne identici.
- Tentando di invertire una matrice non quadrata, o una il cui determinante è 0, entrambi i casi non hanno un inverso valido.
- Confondere la trasposizione (capovolgere righe e colonne) con l'inverso (un'operazione completamente diversa che annulla la moltiplicazione): risolvono problemi diversi.
Calcolatori correlati
- Calcolatore di formule quadratiche — risolvere equazioni che le matrici possono rappresentare anche come sistemi.
- Calcolatrice scientifica — gestire l'aritmetica individuale dietro ogni voce della matrice.
- Calcolatore statistico — analizzare il tipo di matrici di dati tabulari spesso utilizzate per archiviare.
- Calcolatrice di base — ricontrolla manualmente i singoli passaggi di moltiplicazione e addizione.