La risposta breve
Il teorema di Pitagora dice che a² + b² = c² per ogni triangolo rettangolo, dove c è l'ipotenusa (il lato più lungo, opposto all'angolo retto) e a, b sono i due cateti. Dati due lati qualsiasi, risolvi il terzo: c = √(a²+b²) per trovare l'ipotenusa, oppure a = √(c²−b²) per trovare un cateto.
Punti chiave
- Il teorema si applica solo ai triangoli rettangoli: triangoli con esattamente un angolo di 90°.
- L'ipotenusa è sempre il lato più lungo e sta sempre da sola su un lato dell'equazione, mai combinata con un cateto sotto la stessa radice quadrata.
- Le terne pitagoriche (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) sono soluzioni di numeri interi che compaiono costantemente nei problemi di geometria e nella costruzione del mondo reale.
- Moltiplicando ogni lato di una terna pitagorica per lo stesso numero si ottiene un'altra terna valida: 6-8-10 e 9-12-15 sono entrambi scalati da 3-4-5.
Risolvere per ciascun lato
| Sconosciuto | Formula |
|---|---|
| c (ipotenusa) | c = √(a² + b²) |
| una (gamba) | a = √(c² − b²) |
| b (gamba) | b = √(c² − a²) |
Risolvendo per una gamba si sottrae sempre sotto la radice quadrata, non si aggiunge mai: una gamba è più corta dell'ipotenusa, quindi rimuovere il contributo dell'altra gamba da c² è ciò che la recupera.
Triple pitagoriche comuni
| Triplicare | Controllo |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
Esempio pratico: la regola di costruzione 3-4-5
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
I costruttori misurano 3 piedi lungo un muro e 4 piedi lungo un muro perpendicolare dallo stesso angolo, quindi controllano la diagonale tra questi due punti. Una diagonale di esattamente 5 piedi conferma un vero angolo retto: non è necessario alcun goniometro o cercatore d'angolo, solo un metro a nastro e questa identità.
Errori comuni da evitare
- Applicando a² + b² = c² a un triangolo che in realtà non è rettangolo: l'identità semplicemente non regge senza un autentico angolo di 90°.
- Aggiungere invece di sottrarre quando si risolve una gamba: una gamba viene da c² − (altra gamba)², non c² + (altra gamba)².
- Etichettare erroneamente quale lato è l'ipotenusa: è sempre il lato opposto all'angolo retto e sempre il più lungo, indipendentemente da come viene disegnato o ruotato il triangolo.
- Mescolare le unità prima della quadratura: ogni lato deve essere nella stessa unità (tutti i piedi o tutti i metri) prima che la formula dia un risultato significativo.
Calcolatori correlati
- Calcolatrice del triangolo rettangolo — risolvere per gli angoli e l'area oltre al lato mancante.
- Calcolatore della distanza — vedere lo stesso teorema applicato ai punti coordinati invece che ai lati del triangolo.
- Calcolatore del triangolo — lavorare con triangoli che non sono rettangoli.
- Calcolatore della radice — ricontrolla manualmente il passo della radice quadrata.