빠른 답변
z-점수는 값이 평균 위 또는 아래에 있는 표준 편차 수를 알려줍니다. z = (X − μ) / σ. 평균 및 표준 편차와 함께 원시 점수를 입력하여 z-점수를 얻거나 알려진 z-점수에서 거꾸로 작업하여 원시 점수, 백분위수 및 정규 곡선 아래의 확률을 찾습니다.
주요 시사점
- z-점수 0은 값이 평균과 정확히 동일함을 의미합니다. 양수 z는 평균보다 높고, 음수 z는 평균보다 낮습니다.
- Z-점수는 정규 분포 데이터 세트를 공통 척도로 표준화하여 완전히 다른 단위로 측정된 값을 비교할 수 있게 해줍니다.
- 경험적 규칙에 따르면 값의 약 68%는 평균의 ±1 SD 내에 있고, 95%는 ±2 SD 내에 있으며, 99.7%는 ±3 SD 내에 있습니다.
- 백분위수와 z-점수는 서로 관련되어 있지만 다릅니다. z-점수 1은 1번째 백분위수가 아니라 약 84번째 백분위수에 해당합니다.
z-점수 공식, 실제 예시
z = (X − μ) / σ
예: 원시 점수 X = 75, 평균 μ = 70, 표준 편차 σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0.5
- z-점수가 0.5라는 것은 점수가 평균보다 표준편차의 절반에 위치한다는 것을 의미합니다.
- 표준 정규 분포에서 z = 0.5를 찾아보면 약 69.1%의 백분위수가 나옵니다. 이 점수는 분포의 약 69%를 능가합니다.
Z-점수, 백분위수 및 경험적 규칙
정규 분포의 경우 경험적 규칙(68-95-99.7 규칙)은 각 표준 편차 대역 내에 얼마나 많은 데이터가 속하는지 설명합니다.
| 범위 | 데이터의 대략적인 % |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
다양한 척도에 따른 점수 비교
Z-점수를 사용하면 완전히 다른 점수 척도를 사용하여 테스트의 성능을 비교할 수 있습니다. 학생 A가 SAT에서 1350점(평균 1050, SD 200)을 받고 학생 B가 ACT에서 30점(평균 21, SD 5)을 받았다고 가정해 보겠습니다.
- 학생 A: z = (1350 − 1050) / 200 = 1.5
- 학생 B: z = (30 − 21) / 5 = 1.8
원시 점수가 관련 없는 척도를 사용하더라도 학생 B의 z-점수가 높다는 것은 자신의 테스트 점수 분포에 비해 더 나은 성적을 냈다는 것을 의미합니다.
일반적인 실수
- z-점수를 직접 백분위수인 것처럼 처리합니다. z-점수 1은 대략 1번째 백분위수가 아니라 84번째 백분위수입니다.
- 왼쪽 꼬리, 오른쪽 꼬리, 양측 확률을 혼합하여 각각 값이 어디에 속하는지에 대한 서로 다른 질문에 답합니다.
- 대략적으로 정규 분포를 따르지 않고 백분율이 더 이상 유지되지 않는 데이터에 z-점수와 경험적 규칙을 적용합니다.
- 값이 평균보다 높은지 낮은지 반전하는 음의 z-점수 기호를 삭제합니다.