짧은 대답
산술 수열은 각 단계마다 일정한 양을 추가합니다(2, 5, 8, 11... 매번 3을 더함). 기하학적 수열은 일정한 비율로 곱해집니다(3, 6, 12, 24... 매번 두 배가 됩니다). 시퀀스의 유형과 시작 값을 알고 나면 수식은 사이에 있는 모든 항목을 나열하지 않고 임의의 항(100번째, 1000번째)을 제공합니다.
주요 시사점
- 산술수열은 연속항 사이에 일정한 차이가 있습니다. 기하학적 수열은 일정한 비율을 갖습니다.
- n번째 항 공식을 사용하면 모든 항을 먼저 생성하지 않고도 산술의 경우 aₙ = a₁ + (n−1)d, 기하의 경우 aₙ = a₁ × r^(n−1) 등 임의의 위치로 바로 이동할 수 있습니다.
- 모든 수열이 산술적이거나 기하학적인 것은 아닙니다. 피보나치 스타일 수열은 일정한 차이나 비율 대신 이전 항에서 각 항을 구성합니다.
- 두 수열 유형 모두에 대한 합계 공식이 있으므로 하나씩 추가하지 않고도 처음 n항의 합계를 낼 수 있습니다.
패턴 유형 인식
| 무늬 | 시험 | 예 |
|---|---|---|
| 산수 | 연속적인 차이는 일정합니다. | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| 기하학 | 연속 비율은 일정합니다. | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| 피보나치 스타일 | 각 항 = 이전 항의 합 | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
n번째 항 및 합계 공식
| 유형 | n번째 학기 | 처음 n항의 합 |
|---|---|---|
| 산수 | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| 기하학 | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
예제: 등차수열의 합
2, 5, 8, 11...의 처음 10개 항의 합을 구합니다(a₁ = 2, d = 3).
a₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
합계 공식에는 첫 번째 항, 마지막 항 및 개수만 필요합니다. 총계를 확인하기 위해 10개의 숫자를 모두 직접 추가할 필요가 없습니다.
피해야 할 일반적인 실수
- 한 쌍의 용어만 확인한 후 패턴이 산술적이라고 가정합니다. 결론을 내리기 전에 모든 연속 차이가 일치하는지 확인합니다.
- 등비수열에 산술합 공식을 사용하거나 그 반대로 사용하면 두 공식을 서로 바꿔 사용할 수 없습니다.
- 기하합 공식을 잊어버리면 r = 1일 때 분해됩니다. 모든 항이 동일하므로 합은 0으로 나누는 것이 아니라 단순히 n × a₁입니다.
- 피보나치와 같은 재귀 수열을 단순한 폐쇄형 n차 공식이 있는 것처럼 처리합니다. 더 발전된 항등식 없이는 그렇지 않습니다.