คำตอบสั้นๆ
ลำดับเลขคณิตจะเพิ่มจำนวนคงที่ในแต่ละขั้นตอน (2, 5, 8, 11... บวก 3 ทุกครั้ง) ลำดับเรขาคณิตคูณด้วยอัตราส่วนคงที่ (3, 6, 12, 24... เพิ่มเป็นสองเท่าทุกครั้ง) เมื่อคุณทราบว่าลำดับเป็นประเภทใดและค่าเริ่มต้นแล้ว สูตรจะให้คำศัพท์ใดๆ แก่คุณ ไม่ว่าจะเป็นลำดับที่ 100 หรือ 1,000 โดยไม่แสดงรายการทุกอย่างที่อยู่ระหว่างนั้น
ประเด็นสำคัญ
- ลำดับเลขคณิตมีความแตกต่างคงที่ระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกัน ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนคงที่
- สูตรเทอมที่ n ให้คุณข้ามไปยังตำแหน่งใดก็ได้ — aₙ = a₁ + (n−1)d สำหรับเลขคณิต, aₙ = a₁ × r^(n−1) สำหรับเรขาคณิต — โดยไม่ต้องสร้างทุกพจน์ก่อน
- ไม่ใช่ทุกลำดับที่เป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต — ลำดับสไตล์ฟีโบนัชชีจะสร้างแต่ละพจน์จากลำดับก่อนหน้า แทนที่จะเป็นผลต่างหรืออัตราส่วนคงที่
- มีสูตรผลรวมสำหรับลำดับทั้งสองประเภท ดังนั้นคุณจึงสามารถรวม n พจน์แรกได้โดยไม่ต้องบวกทีละคำ
การรับรู้ประเภทรูปแบบ
| ลวดลาย | ทดสอบ | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| เลขคณิต | ความแตกต่างติดต่อกันคงที่ | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| เรขาคณิต | อัตราส่วนติดต่อกันจะคงที่ | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| แบบฟีโบนัชชี่ | แต่ละเทอม = ผลรวมของเทอมก่อนหน้า | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
สูตรเทอมที่ n และสูตรผลรวม
| พิมพ์ | เทอมที่ n | ผลรวมของเทอม n แรก |
|---|---|---|
| เลขคณิต | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| เรขาคณิต | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
ตัวอย่างการทำงาน: ผลรวมของลำดับเลขคณิต
ค้นหาผลรวมของ 10 เทอมแรกของ 2, 5, 8, 11... (a₁ = 2, d = 3)
ก₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
สูตรผลรวมต้องการเพียงเทอมแรก เทอมสุดท้าย และการนับ ไม่จำเป็นต้องบวกตัวเลขทั้ง 10 ตัวด้วยตนเองเพื่อตรวจสอบผลรวม
ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ควรหลีกเลี่ยง
- สมมติว่ารูปแบบเป็นแบบเลขคณิตหลังจากตรวจสอบคำศัพท์เพียงคู่เดียว — ยืนยันการจับคู่ผลต่างที่ต่อเนื่องกันทุกครั้งก่อนที่จะสรุป
- การใช้สูตรผลรวมเลขคณิตกับลำดับทางเรขาคณิตหรือในทางกลับกัน ทั้งสองสูตรไม่สามารถใช้แทนกันได้
- การลืมสูตรผลรวมทางเรขาคณิตจะพังเมื่อ r = 1 — ทุกเทอมเท่ากัน ดังนั้นผลรวมจึงเป็นเพียง n × a₁ ไม่ใช่การหารด้วยศูนย์
- การจัดการกับลำดับแบบเรียกซ้ำเช่น Fibonacci เหมือนกับว่ามันมีสูตรระยะที่ n ในรูปแบบปิดธรรมดา — มันไม่เป็นเช่นนั้น หากไม่มีข้อมูลเฉพาะตัวขั้นสูงกว่านี้
เครื่องคิดเลขที่เกี่ยวข้อง
- เครื่องคิดเลขเฉลี่ย — เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของคำศัพท์ในลำดับของคุณกับผลรวมตามสูตร
- เครื่องคำนวณเลขชี้กำลัง — ตรวจสอบพลังเบื้องหลังการเติบโตของลำดับเรขาคณิต
- เครื่องคำนวณอัตราส่วน — ตรวจสอบอัตราส่วนร่วมที่ขับเคลื่อนลำดับเรขาคณิต
- เครื่องคำนวณสถิติ — วิเคราะห์ลำดับที่สร้างขึ้นเป็นชุดข้อมูลแบบเต็ม