คำตอบสั้นๆ
สูตรกำลังสองแก้สมการใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) τ (2a) ± หมายความว่ามีวิธีแก้ 2 วิธี ซึ่งพบได้โดยการบวกแล้วลบเทอมรากที่สอง ตัวแบ่งแยก b²−4ac จะแสดงตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่คุณคาดหวังก่อนที่คุณจะคำนวณเสร็จสิ้น
ประเด็นสำคัญ
- Discriminant (b²−4ac) แสดงตัวอย่างประเภทคำตอบ: ค่าบวกหมายถึงรากจริง 2 ราก ศูนย์หมายถึงรากจริงซ้ำ 1 อัน ลบหมายถึงรากเชิงซ้อน 2 ราก
- จุดยอดที่ x = −b/(2a) คือจุดต่ำสุดของพาราโบลาหาก a > 0 หรือจุดสูงสุดหาก a < 0
- การแยกตัวประกอบจะเร็วกว่าสูตรเมื่อตัวประกอบกำลังสองหารจำนวนเต็มเรียบร้อย แต่สูตรจะใช้ได้ผลเสมอ แม้ว่าการแยกตัวประกอบไม่ได้ผลก็ตาม
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
สูตรกำลังสองและการจำแนก
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| เลือกปฏิบัติ | ประเภทโซลูชัน | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | สองโซลูชั่นที่แท้จริง | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | หนึ่งวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริงซ้ำแล้วซ้ำอีก | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | สองโซลูชั่นที่ซับซ้อน | x²+x+1=0 |
ตัวอย่างการทำงาน: การแก้ x² − 5x + 6 = 0
ก=1, ข=−5, ค=6
การแยกแยะ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 หรือ x = 2
วิธีนี้จะจับคู่การแยกตัวประกอบสมการเดียวกันโดยตรง: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) ซึ่งเป็นศูนย์พอดีเมื่อ x = 2 หรือ x = 3 — สูตรกำลังสองและการแยกตัวประกอบสอดคล้องกันเหมือนทุกครั้ง
จุดยอดและแกนสมมาตร
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2.5
y = (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25
จุดยอด = (2.5, −0.25)
เนื่องจาก a = 1 เป็นบวก พาราโบลานี้จึงเปิดขึ้น ดังนั้นจุดยอด (2.5, −0.25) จึงเป็นจุดต่ำสุดบนเส้นโค้ง และตั้งอยู่กึ่งกลางพอดีระหว่างรากทั้งสอง นั่นคือ 2 และ 3 บนแกนสมมาตร x = 2.5
ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ควรหลีกเลี่ยง
- ลืม ± และรายงานเพียงรากเดียว — ทุกกำลังสองที่มีการแบ่งแยกเชิงบวกจะมีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันสองวิธี
- ลงชื่อข้อผิดพลาดเมื่อ b เป็นลบ — ลบ b ทำให้ −b เป็นบวก ซึ่งเป็นสาเหตุของความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์บ่อยครั้ง
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- หยุดที่ x = −b/(2a) สำหรับจุดยอดและลืมเสียบกลับเข้าไปในสมการเดิมเพื่อให้ได้พิกัด y เช่นกัน
เครื่องคิดเลขที่เกี่ยวข้อง
- เครื่องคิดเลขรูท — ตรวจสอบขั้นตอนรากที่สองภายในสูตรอีกครั้ง
- เครื่องคำนวณเลขชี้กำลัง — ตรวจสอบเงื่อนไขกำลังสองในการเลือกปฏิบัติ
- เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ — แก้ระบบสมการที่อยู่นอกเหนือกำลังสองเพียงตัวเดียว
- เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ — จัดการการคำนวณพีชคณิตและตรีโกณมิติทั่วไป