คำตอบสั้นๆ
เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมของตัวเลข การเพิ่มหรือการลบเมทริกซ์ใช้ทีละรายการ แต่การคูณเมทริกซ์สองตัวจะรวมแถวของเมทริกซ์แรกกับคอลัมน์ของคอลัมน์ที่สอง ไม่มีอะไรเหมือนกับการคูณปกติ เมทริกซ์สองตัวสามารถคูณได้เมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ตัวแรกตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวที่สองเท่านั้น
ประเด็นสำคัญ
- การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน โดยปกติแล้ว A × B จะไม่เท่ากับ B × A และลำดับหนึ่งอาจไม่ถูกกำหนดด้วยซ้ำ
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์จะทำให้เมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากับการคูณตัวเลขด้วย 1
- ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2 [[a,b],[c,d]] คือ ad − bc — ตัวเลขตัวเดียวที่แสดงว่าเมทริกซ์สามารถกลับด้านได้หรือไม่
ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และสูตรผกผัน
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc
ผกผัน = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]
ถ้า ad − bc เท่ากับ 0 เมทริกซ์จะไม่มีการผกผัน การหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของ 0 นั้นไม่ได้นิยามไว้ เช่นเดียวกับการหารตัวเลขด้วย 0
ตัวอย่างการทำงาน: การคูณเมทริกซ์ 2×2 สองตัว
A = [[1,2],[3,4]] และ B = [[5,6],[7,8]]:
A × B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
B × A = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B และ B × A ตกลงบนเมทริกซ์ที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง — ข้อพิสูจน์ที่เป็นรูปธรรมว่าการคูณเมทริกซ์ไม่ได้สลับไปกลับเหมือนการคูณจำนวนธรรมดา
เมื่อการดำเนินการเมทริกซ์ไม่ได้กำหนดไว้
| การดำเนินการ | ความต้องการ |
|---|---|
| การบวก/การลบ | เมทริกซ์ทั้งสองต้องมีมิติที่เหมือนกัน |
| การคูณ (A × B) | จำนวนคอลัมน์ของ A ต้องเท่ากับจำนวนแถวของ B |
| ผกผัน | เมทริกซ์จะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ |
ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ควรหลีกเลี่ยง
- สมมติว่า A × B เท่ากับ B × A เช่นเดียวกับตัวเลขธรรมดา ลำดับจะเปลี่ยนผลลัพธ์ และบางครั้งจะมีการกำหนดเพียงลำดับเดียวเท่านั้น
- กำลังพยายามบวกหรือลบเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกัน เมทริกซ์ทั้งสองต้องมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน
- กำลังพยายามกลับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่กำลังสองหรือมีดีเทอร์มิแนนต์เป็น 0 ทั้งสองกรณีไม่มีการผกผันที่ถูกต้อง
- การใช้ทรานสโพสที่สับสน (พลิกแถวและคอลัมน์) กับการกลับกัน (การดำเนินการที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงซึ่งยกเลิกการคูณ) - พวกมันแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน
เครื่องคิดเลขที่เกี่ยวข้อง
- เครื่องคำนวณสูตรกำลังสอง — แก้สมการที่เมทริกซ์สามารถแสดงเป็นระบบได้เช่นกัน
- เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ — จัดการเลขคณิตแต่ละรายการที่อยู่ด้านหลังรายการเมทริกซ์แต่ละรายการ
- เครื่องคำนวณสถิติ — วิเคราะห์ประเภทของเมทริกซ์ข้อมูลแบบตารางที่มักใช้ในการจัดเก็บ
- เครื่องคิดเลขพื้นฐาน — ตรวจสอบขั้นตอนการคูณและการบวกด้วยตนเองอีกครั้ง