Коротка відповідь
Арифметичні послідовності додають постійну суму на кожному кроці (2, 5, 8, 11... щоразу додає 3); геометричні послідовності множаться на постійне співвідношення (3, 6, 12, 24... щоразу подвоюється). Коли ви дізнаєтеся, до якого типу належить послідовність і її початкове значення, формула дає вам будь-який термін — 100-й, 1000-й — без перерахування всього між ними.
Ключові висновки
- Арифметичні послідовності мають постійну різницю між послідовними членами; геометричні послідовності мають постійне співвідношення.
- Формули n-го члена дають змогу відразу переходити до будь-якої позиції — aₙ = a₁ + (n−1)d для арифметики, aₙ = a₁ × r^(n−1) для геометричної — без попереднього генерування кожного члена.
- Не кожна послідовність є арифметичною чи геометричною — послідовності у стилі Фібоначчі будують кожен член із попередніх замість постійної різниці чи співвідношення.
- Формула суми існує для обох типів послідовності, тож ви можете підсумувати перші n членів, не додаючи їх по одному.
Розпізнавання типу візерунка
| Візерунок | Тест | приклад |
|---|---|---|
| Арифметика | Послідовні різниці постійні | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| Геометричний | Послідовні співвідношення постійні | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| Стиль Фібоначчі | Кожен термін = сума попередніх термінів | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
Формули n-го доданка та суми
| Тип | n-й термін | Сума перших n доданків |
|---|---|---|
| Арифметика | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| Геометричний | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
Відпрацьований приклад: сума арифметичної послідовності
Знайдіть суму перших 10 доданків числа 2, 5, 8, 11... (a₁ = 2, d = 3).
a₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
Для формули суми потрібен лише перший член, останній член і підрахунок — не потрібно додавати всі 10 чисел вручну, щоб перевірити підсумок.
Поширені помилки, яких слід уникати
- Припускаючи, що шаблон є арифметичним після перевірки лише однієї пари доданків — підтвердьте збіги кожної послідовної різниці перед завершенням.
- Використання формули арифметичної суми в геометричній послідовності або навпаки — ці дві формули не є взаємозамінними.
- Якщо забути формулу геометричної суми, вона руйнується, коли r = 1 — кожен член ідентичний, тому сума є просто n × a₁, а не діленням на нуль.
- Розглядати рекурсивну послідовність, як Фібоначчі, так, ніби вона має просту формулу n-го члена замкнутої форми — це не так, без більш просунутих ідентифікаторів.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор середнього — порівняйте середнє значення членів вашої послідовності з її сумою на основі формули.
- Калькулятор експонент — перевірте потужності зростання геометричної послідовності.
- Калькулятор співвідношення — перевірити загальне співвідношення, що керує геометричною послідовністю.
- Калькулятор статистики — аналізувати згенеровану послідовність як повний набір даних.