Коротка відповідь
Квадратна формула розв’язує будь-яке рівняння виду ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). ± означає наявність двох розв’язків, отриманих шляхом додавання та віднімання квадратного кореня. Дискримінант b²−4ac попередньо переглядає, якого типу розв’язків очікувати, ще до того, як ви закінчите обчислення.
Ключові висновки
- Дискримінант (b²−4ac) попередньо переглядає тип відповіді: позитивний означає два дійсні корені, нуль означає один повторюваний дійсний корінь, негативний означає два комплексні корені.
- Вершина при x = −b/(2a) є точкою мінімуму параболи, якщо a > 0, або точкою максимуму, якщо a < 0.
- Розкладання на множники є швидшим, ніж формула, коли квадратичне розкладається на цілі числа, але формула завжди працює, навіть якщо розкладання на множники не працює.
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
Квадратична формула і дискримінант
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| Дискримінант | Тип рішення | приклад |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | Два реальних рішення | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | Один повторний реальний розв'язок | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | Два комплексних рішення | x²+x+1=0 |
Робочий приклад: розв’язання x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
Дискримінант = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 або x = 2
Це прямо збігається з розкладанням того самого рівняння на множники: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), що дорівнює нулю саме тоді, коли x = 2 або x = 3 — квадратична формула та розкладання узгоджуються, як завжди.
Вершина і вісь симетрії
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2,5
y = (2,5)² − 5(2,5) + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25
Вершина = (2,5, −0,25)
Оскільки a = 1 додатне, ця парабола відкривається вгору, тому вершина (2,5, −0,25) є найнижчою точкою кривої — і вона знаходиться точно посередині між двома коренями, 2 і 3, на осі симетрії x = 2,5.
Поширені помилки, яких слід уникати
- Забувши про ± і повідомивши лише про один корінь, кожен квадратний з додатним дискримінантом має два різних розв’язки.
- Знакові помилки, коли b від’ємне — від’ємне b робить −b додатним, часте джерело арифметичних помилок.
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- Зупинка на x = −b/(2a) для вершини та забуття підключити її назад до початкового рівняння, щоб також отримати y-координату.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор коренів — двічі перевірте крок квадратного кореня у формулі.
- Калькулятор експонент — перевірте квадрати доданків у дискримінанті.
- Матричний калькулятор — розв’язувати системи рівнянь поза одним квадратним.
- Науковий калькулятор — виконувати загальні алгебраїчні та тригонометричні обчислення.