Коротка відповідь
Матриця — це прямокутна сітка чисел. Додавання або віднімання матриць працює елемент за записом, але множення двох матриць поєднує рядки першої зі стовпцями другої — нічого схожого на звичайне множення. Дві матриці можна перемножити лише тоді, коли кількість стовпців першої матриці збігається з кількістю рядків другої матриці.
Ключові висновки
- Матричне множення не є комутативним — A × B зазвичай не дорівнює B × A, і один порядок може навіть не бути визначеним.
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- Множення матриці на одиничну матрицю залишає її незмінною — матриця еквівалентна множенню числа на 1.
- Визначником матриці 2×2 [[a,b],[c,d]] є ad − bc — одне число, яке показує, чи можна матрицю інвертувати.
2×2 визначник і обернені формули
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc
зворотний = (1/det) × [[d, −b], [−c,a]]
Якщо ad − bc дорівнює 0, матриця не має оберненого — ділення на визначник 0 є невизначеним, як і ділення числа на 0.
Приклад роботи: множення двох матриць 2×2
A = [[1,2],[3,4]] і B = [[5,6],[7,8]]:
A × B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
B × A = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B і B × A потрапляють на абсолютно різні матриці — конкретний доказ того, що матричне множення не змінює так, як це робить звичайне множення чисел.
Коли матричні операції не визначені
| Операція | Вимога |
|---|---|
| Додавання / віднімання | Обидві матриці повинні мати однакові розміри |
| Множення (A × B) | Кількість стовпців A має дорівнювати кількості рядків B |
| Зворотний | Матриця має бути квадратною з ненульовим визначником |
Поширені помилки, яких слід уникати
- Якщо припустити, що A × B дорівнює B × A, як це було б для звичайних чисел, порядок змінює результат, а іноді навіть визначається лише один порядок.
- Спроба додати або відняти матриці з різними розмірами — обидві матриці потребують однакової кількості рядків і стовпців.
- Спроба інвертувати неквадратну матрицю або матрицю, детермінант якої дорівнює 0 — обидва випадки не мають дійсного обернення.
- Плутаючи транспонування (перевертання рядків і стовпців) із зворотним (зовсім інша операція, яка скасовує множення) — вони вирішують різні проблеми.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор квадратичних формул — розв’язувати рівняння, які матриці також можуть представляти як системи.
- Науковий калькулятор — обробляти індивідуальну арифметику за кожним записом матриці.
- Калькулятор статистики — проаналізувати тип табличних матриць даних, які часто використовуються для зберігання.
- Базовий калькулятор — ще раз перевірте вручну окремі кроки множення та додавання.