简短的回答
毕达哥拉斯定理表明，对于任何直角三角形，a² + b² = c²，其中 c 是斜边（与直角相对的最长边），a、b 是两条边。给定任意两条边，求解第三条边：c = √(a²+b²) 来找到斜边，或者 a = √(c²−b²) 来找到一条边。
要点
- 该定理仅适用于直角三角形——只有一个 90° 角的三角形。
- 斜边始终是最长的边，并且始终单独位于方程的一侧，从不与同一平方根下的一条边组合。
- 毕达哥拉斯三元组（3-4-5、5-12-13、8-15-17）是整数解，经常出现在几何问题和现实世界的构造中。
- 将毕达哥拉斯三元组的每一边乘以相同的数字会产生另一个有效的三元组 - 6-8-10 和 9-12-15 都是从 3-4-5 缩放而来的。
解决每一方
| 未知 | 公式 |
|---|---|
| c（斜边） | c = √(a² + b²) |
| 一条（腿） | a = √(c² − b²) |
| b（腿） | b = √(c² − a²) |
求解一条边总是减去平方根，而不是相加——一条边比斜边短，因此从 c² 中删除另一条边的贡献即可恢复它。
常见毕达哥拉斯三元组
| 三倍 | 查看 |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
工作示例：3-4-5 构造规则
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
建筑商从同一角开始沿一面墙测量 3 英尺，沿垂直墙测量 4 英尺，然后检查这两点之间的对角线。正好 5 英尺的对角线确认了真正的直角 - 不需要量角器或角度查找器，只需要一把卷尺和这个标识。
要避免的常见错误
- 将 a² + b² = c² 应用于实际上不是直角的三角形 — 如果没有真正的 90° 角，恒等式根本不成立。
- 求解一条腿时，用加法代替减法 — 一条腿来自 c² − (另一条腿)²，而不是 c² + (另一条腿)²。
- 错误标记哪条边是斜边 - 它始终是与直角相对的边，并且始终是最长的边，无论三角形如何绘制或旋转。
- 在平方之前混合单位 - 在公式给出有意义的结果之前，每一边都必须采用相同的单位（所有英尺或所有米）。