快速解答
选择与您所知道的相匹配的计算模式 - 三条边 (SSS)、两条边和它们之间的角度 (SAS)、两个角度和它们之间的边 (ASA)、两个角度和一条不包含的边 (AAS) 或两条边和一个不包含的角度 (SSA)。计算器应用余弦定理或正弦定理来求解每个剩余的边、角度、面积和周长。
要点
- 任何三角形都需要恰好三个已知值（有效组合）才能完全求解。
- 余弦定律连接三个边和一个角；正弦定律将边和角与其对角的正弦成比例地连接起来。
- 无论三角形的形状或大小如何，三个内角之和始终恰好为 180°。
- SSA 输入是一种可能不明确的情况 - 它可能描述零个、一个或两个有效三角形。
- 海伦公式直接从三边求面积，不需要任何角度。
选择方法：SSS、SAS、ASA、AAS、SSA
每种模式描述了已知边和角度的不同组合。将您所拥有的内容与下面的一行相匹配：
| 模式 | 你知道 | 解决了 |
|---|---|---|
| SSS | 所有三个侧面 | 余弦定律（角度）、海伦公式（面积） |
| SAS | 两条边+它们之间的角度 | 余弦定理（第三边），然后再次应用角度的余弦定理 |
| ASA | 两个角+它们之间的边 | 三角和定理（第三角）、正弦定理（边） |
| AAS | 两个角 + 一条不在它们之间的边 | 三角和定理（第三角）、正弦定理（边） |
| SSA | 两条边+一个不包含角 | 正弦定理 — 可能有 0、1 或 2 个解 |
正弦定理和余弦定理
余弦定理将毕达哥拉斯定理推广到任何三角形：
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
正弦定理将每条边与其对角的正弦值联系起来：
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
工作示例 (ASA)：角度 A = 40°，边 c = 10，角度 B = 60°
- 角度 C = 180° − 40° − 60° = 80°
- a 边 = c × sin(A) / sin(C) = 10 × sin(40°) / sin(80°) ≈ 6.53
- b 边 = c × sin(B) / sin(C) = 10 × sin(60°) / sin(80°) ≈ 8.79
- 面积 = 0.5 × a × b × sin(C) ≈ 0.5 × 6.53 × 8.79 × sin(80°) ≈ 28.27
模棱两可的SSA案例
当您知道两条边和一个非夹角时，高度 h = b × sin(A) 确定有多少个三角形适合这些测量值。示例：边 b = 10，角度 A = 30°（因此 h = 10 × sin(30°) = 5）：
| A面 | 与 h = 5 的比较 | 结果 |
|---|---|---|
| 4 | a < h | 不存在三角形 |
| 5 | a = h | 正好一个三角形（直角三角形） |
| 7 | h < a < b | 两个可能的三角形（不明确） |
| 12 | a ≥ b | 正好一个三角形 |
该计算器返回您输入的有效解决方案集；当两个三角形在数学上可能时，它会报告锐角解。
常见错误
- 输入违反三角形不等式的三条边——两条短边之和必须大于最长边，否则无法形成三角形。
- 混淆 SAS 和 ASA — SAS 需要夹在两个给定边之间的角度，而 ASA 需要夹在两个给定角度之间的边。
- 忘记 SSA 可能是不明确的，并假设只有一个可能的三角形。
- 使用错误的角度单位 - 该计算器需要度数，而不是弧度。
相关计算器
- 直角三角形计算器 — 对于已知 90° 角的三角形
- 毕达哥拉斯定理计算器 — 用于找到直角三角形的缺失边
- 面积计算器 — 对于三角形和其他形状的面积
- 距离计算器 — 两个坐标点之间的距离