快速解答
z 分数告诉您某个值高于或低于平均值的标准差有多少：z = (X − μ) / σ。输入包含平均值和标准差的原始分数以获得 z 分数，或从已知的 z 分数向后推算以找到正态曲线下的原始分数、百分位数和概率。
要点
- z 分数为 0 表示该值完全等于平均值；正 z 高于均值，负 z 低于均值。
- Z 分数将任何正态分布的数据集标准化为通用尺度，让您可以比较以完全不同的单位测量的值。
- 经验规则表明，大约 68% 的值落在平均值的 ±1 SD 范围内，95% 的值落在平均值的 ±2 SD 范围内，99.7% 的值落在平均值的 ±3 SD 范围内。
- 百分位数和 z 分数相关但又不同 — z 分数 1 对应于第 84 个百分位数，而不是第 1 个百分位数。
z 分数公式，工作示例
z = (X − μ) / σ
示例：原始分数 X = 75，平均值 μ = 70，标准差 σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0.5
- z 分数为 0.5 表示分数比平均值高出一半标准差。
- 在标准正态分布上查找 z = 0.5 得出的百分位数约为 69.1% — 该分数优于分布的大约 69%。
Z 分数、百分位数和经验规则
对于任何正态分布，经验规则（68-95-99.7 规则）描述了有多少数据落在每个标准差范围内：
| 范围 | 数据的大约 % |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
比较不同尺度的分数
Z 分数可让您比较具有完全不同评分标准的测试表现。假设学生 A 的 SAT 成绩为 1350（平均分 1050，标准差 200），学生 B 的 ACT 成绩为 30（平均分 21，标准差 5）：
- 学生 A：z = (1350 − 1050) / 200 = 1.5
- 学生 B：z = (30 − 21) / 5 = 1.8
尽管原始分数使用不相关的量表，但学生 B 的 z 分数较高意味着他们相对于自己测试的分数分布表现更好。
常见错误
- 将 z 分数直接视为百分位数 — z 分数为 1 大约是第 84 个百分位数，而不是第 1 个百分位数。
- 混合左尾概率、右尾概率和双尾概率——每种概率都回答一个关于值落在哪里的不同问题。
- 将 z 分数和经验规则应用于不近似正态分布的数据，其中百分比不再成立。
- 删除负 z 分数的符号，这会翻转值是高于还是低于平均值。