简短的回答
算术序列每一步添加一个恒定量（2、5、8、11...每次添加 3）；几何序列乘以恒定比率（3、6、12、24...每次都会加倍）。一旦您知道序列属于哪种类型及其起始值，公式就会为您提供任何项（第 100 个、第 1000 个），而无需列出其间的所有项。
要点
- 算术序列的连续项之间具有恒定的差值；几何序列具有恒定的比率。
- 第 n 项公式可让您直接跳到任何位置 — 对于算术，aₙ = a₁ + (n−1)d；对于几何，aₙ = a₁ × r^(n−1) — 无需先生成每一项。
- 并非每个序列都是算术或几何序列 - 斐波那契式序列根据前一项构建每一项，而不是恒定的差值或比率。
- 两种序列类型都存在求和公式，因此您可以对前 n 项进行求和，而无需将它们逐一相加。
识别模式类型
| 图案 | 测试 | 例子 |
|---|---|---|
| 算术 | 连续差异是恒定的 | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| 几何的 | 连续比率是恒定的 | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| 斐波那契式 | 每一项 = 前一项的总和 | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
第 n 项和求和公式
| 类型 | 第n期 | 前 n 项之和 |
|---|---|---|
| 算术 | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| 几何的 | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
示例：算术序列之和
求 2, 5, 8, 11... (a₁ = 2, d = 3) 的前 10 项之和。
a₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
求和公式只需要第一项、最后一项和计数，无需手动将所有 10 个数字相加来检查总数。
要避免的常见错误
- 假设仅检查一对项后的算术模式 - 在得出结论之前确认每个连续的差异匹配。
- 在等比数列上使用算术和公式，反之亦然 - 这两个公式不可互换。
- 忘记几何和公式在 r = 1 时就会失效——每项都相同，因此总和只是 n × a₁，而不是除以零。
- 将像斐波那契这样的递归序列视为有一个简单的封闭式第 n 项公式——事实并非如此，没有更高级的恒等式。