Краткият отговор
Аритметичните последователности добавят постоянна сума на всяка стъпка (2, 5, 8, 11... добавя 3 всеки път); геометричните последователности се умножават по постоянно съотношение (3, 6, 12, 24... удвоява се всеки път). След като разберете кой тип е дадена последователност и нейната начална стойност, формулата ви дава произволен член — 100-ия, 1000-ния — без да изброява всичко между тях.
Key takeaways
- Аритметичните последователности имат постоянна разлика между последователните членове; геометричните последователности имат постоянно съотношение.
- Формулите за n-ти член ви позволяват да преминете направо към всяка позиция — aₙ = a₁ + (n−1)d за аритметика, aₙ = a₁ × r^(n−1) за геометрична — без първо да генерирате всеки член.
- Не всяка последователност е аритметична или геометрична - последователностите в стила на Фибоначи изграждат всеки член от предишните вместо постоянна разлика или съотношение.
- Съществува формула за сумиране и за двата типа последователности, така че можете да сумирате първите n члена, без да ги добавяте един по един.
Разпознаване на типа модел
| Модел | Тест | Example |
|---|---|---|
| Аритметика | Последователните разлики са постоянни | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| Геометричен | Последователните съотношения са постоянни | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| В стил Фибоначи | Всеки термин = сбор от предишни термини | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
Формулите за n-ти член и сума
| Тип | n-ти член | Сума от първите n члена |
|---|---|---|
| Аритметика | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| Геометричен | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
Работен пример: сума на аритметична последователност
Намерете сумата от първите 10 члена на 2, 5, 8, 11... (a₁ = 2, d = 3).
a₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
Формулата за сумиране се нуждае само от първия член, последния член и броя - няма нужда да добавяте всичките 10 числа на ръка, за да проверите общата сума.
Често срещани грешки, които трябва да избягвате
- Ако приемем, че моделът е аритметичен след проверка само на една двойка термини — потвърдете съвпаденията на всяка последователна разлика преди приключване.
- Използване на формулата за аритметична сума върху геометрична последователност или обратното — двете формули не са взаимозаменяеми.
- Забравянето на формулата за геометрична сума се разпада, когато r = 1 — всеки член е идентичен, така че сумата е просто n × a₁, а не деление на нула.
- Третиране на рекурсивна последователност като Фибоначи, сякаш има проста формула с n-ти член в затворена форма - не е така, без по-разширени идентичности.
Свързани калкулатори
- Среден калкулатор — сравнете средната стойност на членовете на вашата последователност с нейната сума, базирана на формула.
- Експонентен калкулатор — проверете мощностите зад растежа на геометрична последователност.
- Калкулатор за съотношение — проверете общото съотношение, управляващо геометрична последователност.
- Статистически калкулатор — analyze a generated sequence as a full data set.