Die kurze Antwort
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, wandeln Sie sie zunächst in einen gemeinsamen Nenner um und addieren oder subtrahieren Sie dann die Zähler. Um zu multiplizieren, multiplizieren Sie gerade: Zähler × Zähler, Nenner × Nenner. Um zu dividieren, kehren Sie den zweiten Bruch um und multiplizieren Sie stattdessen. Jedes Ergebnis sollte am Ende vereinfacht werden, indem beide Teile durch ihren größten gemeinsamen Faktor dividiert werden.
Wichtige Erkenntnisse
- Addition und Subtraktion brauchen zunächst einen gemeinsamen Nenner; Bei Multiplikation und Division ist dies nicht der Fall – der Versuch, eine zu finden, führt nur zu unnötigen Schritten.
- "Keep, change, flip" for division works because dividing by a number is the same as multiplying by its reciprocal.
- Ein Bruch liegt nur dann in der einfachsten Form vor, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor außer 1 haben – dividieren Sie am Ende immer durch den GCF.
- Ein unechter Bruch (Zähler ≥ Nenner) und seine entsprechende gemischte Zahl stellen denselben Wert dar – die Umrechnung zwischen ihnen ändert nie den Wert des Bruchs.
Die vier Operationen nebeneinander
| Betrieb | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Zusatz | a/b + c/d = (ad+bc)/bd | 1/4 + 1/6 = 5/12 |
| Subtraktion | a/b − c/d = (ad−bc)/bd | 3/4 − 1/6 = 7/12 |
| Multiplikation | a/b × c/d = ac/bd | 2/3 × 3/5 = 2/5 |
| Division | a/b ÷ c/d = a/b × d/c | 1/2 ÷ 3/4 = 2/3 |
Arbeitsbeispiel: Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren
1/4 + 1/6 – LCM von 4 und 6 ist 12
1/4 = 3/12
1/6 = 2/12
3/12 + 2/12 = 5/12 (bereits in einfachster Form)
Durch die Verwendung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (12, nicht einfach die Nenner miteinander zu multiplizieren, um 24 zu erhalten) werden die Zahlen so klein wie möglich gehalten, was die Arithmetik einfacher macht und am Ende oft weniger vereinfacht.
Vereinfachende und gemischte Zahlen
Vereinfachen bedeutet, Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Faktor (GCF) zu dividieren. Für 8/12 beträgt der GCF 4, also 8/12 = 2/3.
Eine gemischte Zahl kombiniert eine ganze Zahl mit einem Bruch, wie 2¾. Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, dividieren Sie den Zähler durch den Nenner: 11 ÷ 4 = 2 Rest 3, also 11/4 = 2¾. Um umgekehrt zu gehen, multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem Nenner, addieren Sie den Zähler und behalten Sie den gleichen Nenner bei: 2¾ = (2×4+3)/4 = 11/4.
Häufige Fehler, die es zu vermeiden gilt
- Zähler und Nenner getrennt addieren – 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5. Brüche müssen einen gemeinsamen Nenner haben, bevor ihre Zähler addiert werden können.
- Wenn wir die endgültige Antwort nicht vereinfachen, ist 8/12 numerisch korrekt, aber 2/3 ist die erwartete einfachste Form.
- Vor dem Multiplizieren oder Dividieren einen gemeinsamen Nenner finden – dieser Schritt gilt nur für Addition und Subtraktion.
- Konvertieren Sie eine gemischte Zahl in eine Dezimalzahl, bevor Sie sie mit Brüchen rechnen. Wandeln Sie sie stattdessen in einen unechten Bruch um, um den genauen Wert beizubehalten.
Verwandte Rechner
- Verhältnisrechner — Vereinfachen und vergleichen Sie Verhältnisse mit derselben GCF-Logik.
- Prozentrechner — Wandeln Sie ein Bruchergebnis in einen Prozentsatz um.
- Rechner für den größten gemeinsamen Faktor — Überprüfen Sie noch einmal den GCF, der zur Vereinfachung eines Bruchs verwendet wird.
- Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache — Finden Sie den gemeinsamen Nenner für die Addition oder Subtraktion.