Η σύντομη απάντηση
Η τυπική απόκλιση μετρά τον βαθμό κατανομής των δεδομένων γύρω από τον μέσο όρο, στις ίδιες μονάδες με τα αρχικά δεδομένα. Υπολογίστε το βρίσκοντας την τετραγωνική απόκλιση κάθε τιμής από τον μέσο όρο, υπολογίζοντας τον μέσο όρο αυτών των τετραγωνικών αποκλίσεων (διακύμανση) και μετά λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα. Ένα συμπαγές σύμπλεγμα τιμών δίνει ένα μικρό SD. Οι ευρέως διάσπαρτες τιμές δίνουν ένα μεγάλο SD.
Βασικά φαγητά
- Το δείγμα SD διαιρείται με (n−1), όχι με το n — τη διόρθωση του Bessel — για να αποφευχθεί η συστηματική υποτίμηση της πραγματικής κατανομής του πληθυσμού.
- Η τυπική απόκλιση μοιράζεται τις ίδιες μονάδες με τα αρχικά δεδομένα. Η διακύμανση είναι σε τετράγωνες μονάδες, γι' αυτό συνήθως αναφέρεται SD, όχι διακύμανση.
- Ο εμπειρικός κανόνας (68-95-99.7) ισχύει μόνο για δεδομένα σε σχήμα καμπάνας (κανονικά) — δεν ισχύει για λοξές ή πολυτροπικές κατανομές.
- Ο τετραγωνισμός των αποκλίσεων πριν από τον μέσο όρο (και όχι απλώς ο μέσος όρος των απόλυτων αποκλίσεων) τιμωρεί περισσότερο τις μεγαλύτερες αποκλίσεις, γι' αυτό η διακύμανση και η SD έγιναν το τυπικό μέτρο της διαφοράς.
Ο τύπος τυπικής απόκλισης, βήμα προς βήμα
| Βήμα | Δράση |
|---|---|
| 1 | Βρείτε τον μέσο όρο του συνόλου δεδομένων |
| 2 | Αφαιρέστε το μέσο όρο από κάθε τιμή (την απόκλιση) |
| 3 | Τετράγωνο κάθε απόκλιση |
| 4 | Μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων (διαιρέστε με n ή n−1) — αυτή είναι η διακύμανση |
| 5 | Πάρτε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης - αυτή είναι η τυπική απόκλιση |
Δείγμα έναντι πληθυσμού: η διόρθωση n−1
Για το σύνολο δεδομένων {2, 4, 6, 8}, ο μέσος όρος = 5 και οι τετραγωνικές αποκλίσεις είναι 9, 1, 1, 9 (άθροισμα = 20):
Διακύμανση πληθυσμού = 20 ÷ 4 = 5 → πληθυσμός SD = √5 ≈ 2,236
Διακύμανση δείγματος = 20 ÷ 3 ≈ 6,667 → δείγμα SD = √6,667 ≈ 2,582
Η έκδοση του δείγματος είναι πάντα ίση ή μεγαλύτερη από την έκδοση πληθυσμού για τα ίδια δεδομένα — η διαίρεση με έναν μικρότερο αριθμό (n−1 αντί για n) διογκώνει ελαφρά την εκτίμηση, διορθώνοντας το γεγονός ότι ένα δείγμα τείνει να υποτιμά την πραγματική εξάπλωση του πλήρους πληθυσμού.
Ο εμπειρικός κανόνας για κανονικά δεδομένα
| Σειρά | % των δεδομένων (κανονική κατανομή) |
|---|---|
| Μέση τιμή ± 1 SD | 68% |
| Μέση τιμή ± 2 SD | 95% |
| Μέση τιμή ± 3 SD | 99.7% |
Αυτός ο κανόνας είναι ένας γρήγορος έλεγχος λογικής για δεδομένα σε σχήμα καμπάνας, όχι ένας παγκόσμιος νόμος — καταρρέει για λοξές, πολυτροπικές ή βαριές διανομές.
Συνήθη λάθη που πρέπει να αποφεύγονται
- Ξεχνώντας το τελικό βήμα της τετραγωνικής ρίζας — η διακύμανση και η τυπική απόκλιση συχνά συγχέονται, αλλά δεν είναι εναλλάξιμα, καθώς βρίσκονται σε διαφορετικές μονάδες.
- Χρησιμοποιώντας τον τύπο πληθυσμού (÷n) όταν προσπαθείτε να εκτιμήσετε την εξάπλωση ενός πληθυσμού από ένα δείγμα — αυτό υποδηλώνει την πραγματική μεταβλητότητα.
- Εφαρμογή του εμπειρικού κανόνα σε δεδομένα που δεν έχουν χονδρικά σχήμα καμπάνας — τα λοξά δεδομένα δεν θα ακολουθούν το μοτίβο 68-95-99,7.
- Υπολογισμός αποκλίσεων από τη διάμεσο αντί για τη μέση — η τυπική απόκλιση ορίζεται συγκεκριμένα γύρω από τη μέση τιμή.
Σχετικές αριθμομηχανές
- Υπολογιστής μέσου όρου — υπολογίστε τον μέσο όρο που κατανέμεται αυτή η αριθμομηχανή.
- Υπολογιστής μέσης, διάμεσης, λειτουργίας και εύρους — αποκτήστε μια πληρέστερη στατιστική εικόνα παράλληλα με το SD.
- Υπολογιστής διαστήματος εμπιστοσύνης — χρησιμοποιήστε SD για να δημιουργήσετε μια εκτίμηση εύρους για τη μέση τιμή του πληθυσμού.
- Αριθμομηχανή Z-Score — δείτε πόσες τυπικές αποκλίσεις είναι μια τιμή από τη μέση τιμή.