Γρήγορη απάντηση
Μια βαθμολογία z σας λέει πόσες τυπικές αποκλίσεις βρίσκεται μια τιμή πάνω ή κάτω από τη μέση τιμή: z = (X − μ) / σ. Εισαγάγετε μια πρωτογενή βαθμολογία με τη μέση και τυπική απόκλιση για να λάβετε τη βαθμολογία z ή εργαστείτε προς τα πίσω από μια γνωστή βαθμολογία z για να βρείτε την ακατέργαστη βαθμολογία, το εκατοστημόριο και την πιθανότητα κάτω από την κανονική καμπύλη.
Βασικά φαγητά
- Ένα z-score 0 σημαίνει ότι η τιμή ισούται με τον μέσο όρο ακριβώς. Το θετικό z είναι πάνω από το μέσο όρο, το αρνητικό z είναι κάτω από αυτό.
- Οι βαθμολογίες Z τυποποιούν οποιοδήποτε κανονικά κατανεμημένο σύνολο δεδομένων σε μια κοινή κλίμακα, επιτρέποντάς σας να συγκρίνετε τιμές που μετρώνται σε εντελώς διαφορετικές μονάδες.
- Ο εμπειρικός κανόνας αναφέρει ότι περίπου το 68% των τιμών εμπίπτουν εντός ±1 SD, το 95% εντός ±2 SD και το 99,7% εντός ±3 SD του μέσου όρου.
- Το εκατοστημόριο και το z-score σχετίζονται αλλά διαφέρουν — το z-score 1 αντιστοιχεί περίπου στο 84ο εκατοστημόριο, όχι στο 1ο.
Ο τύπος z-score, λειτουργικό παράδειγμα
z = (X − μ) / σ
Παράδειγμα: ακατέργαστη βαθμολογία X = 75, μέσος όρος μ = 70, τυπική απόκλιση σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0,5
- Ένα z-score 0,5 σημαίνει ότι η βαθμολογία βρίσκεται μισή τυπική απόκλιση πάνω από τη μέση τιμή.
- Η αναζήτηση z = 0,5 στην τυπική κανονική κατανομή δίνει ένα εκατοστημόριο περίπου 69,1% — η βαθμολογία ξεπερνά περίπου το 69% της κατανομής.
Z-scores, εκατοστιαία ποσοστά και ο εμπειρικός κανόνας
Για οποιαδήποτε κανονική κατανομή, ο εμπειρικός κανόνας (κανόνας 68-95-99.7) περιγράφει πόσα δεδομένα εμπίπτουν σε κάθε ζώνη τυπικών αποκλίσεων:
| Σειρά | Κατά προσέγγιση % των δεδομένων |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
Σύγκριση βαθμολογιών σε διαφορετικές κλίμακες
Οι βαθμολογίες Z σάς επιτρέπουν να συγκρίνετε την απόδοση σε δοκιμές με εντελώς διαφορετικές κλίμακες βαθμολόγησης. Ας υποθέσουμε ότι ο μαθητής Α βαθμολογείται με 1350 στο SAT (μέσος όρος 1050, SD 200) και ο μαθητής Β βαθμολογείται με 30 στο ACT (μέσος όρος 21, SD 5):
- Μαθητής Α: z = (1350 − 1050) / 200 = 1,5
- Μαθητής Β: z = (30 − 21) / 5 = 1,8
Παρόλο που οι ακατέργαστες βαθμολογίες χρησιμοποιούν άσχετες κλίμακες, η υψηλότερη βαθμολογία z του μαθητή Β σημαίνει ότι είχαν καλύτερη απόδοση σε σχέση με την κατανομή των βαθμολογιών του τεστ.
Συνήθη λάθη
- Αντιμετωπίζοντας ένα z-score σαν να ήταν ένα εκατοστημόριο απευθείας — το z-score 1 είναι περίπου το 84ο εκατοστημόριο, όχι το 1ο.
- Ανάμειξη πιθανότητας αριστερής ουράς, δεξιάς ουράς και διπλής ουράς — η καθεμία απαντά σε μια διαφορετική ερώτηση σχετικά με το πού πέφτει μια τιμή.
- Εφαρμογή των βαθμολογιών z και του εμπειρικού κανόνα σε δεδομένα που δεν είναι κατά προσέγγιση κανονικά κατανεμημένα, όπου τα ποσοστά δεν ισχύουν πλέον.
- Πτώση του πρόσημου μιας αρνητικής βαθμολογίας z, η οποία ανατρέπεται είτε μια τιμή είναι πάνω είτε κάτω από τη μέση τιμή.
Σχετικές αριθμομηχανές
- Υπολογιστής τυπικής απόκλισης — για τον υπολογισμό του σ από ένα σύνολο πρωτογενών δεδομένων
- Υπολογιστής διαστήματος εμπιστοσύνης — για την εκτίμηση ενός εύρους γύρω από ένα δείγμα στατιστικής
- Αριθμομηχανή P-Value — για τη σημασία του ελέγχου υποθέσεων από μια στατιστική δοκιμής
- Υπολογιστής στατιστικών — για ένα πλήρες σύνολο περιγραφικών στατιστικών για τα δεδομένα σας