Γρήγορη απάντηση
Επιλέξτε τη λειτουργία υπολογισμού που ταιριάζει με αυτό που γνωρίζετε — τρεις πλευρές (SSS), δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία (SAS), δύο γωνίες και η μεταξύ τους πλευρά (ASA), δύο γωνίες και μια μη συμπεριλαμβανόμενη πλευρά (AAS) ή δύο πλευρές και μια μη συμπεριλαμβανόμενη γωνία (SSA). Η αριθμομηχανή εφαρμόζει τον Νόμο των Συνημιτόνων ή τον Νόμο των Ημιτόνων για να λύσει κάθε πλευρά, γωνία, το εμβαδόν και την περίμετρο που απομένει.
Βασικά φαγητά
- Κάθε τρίγωνο χρειάζεται ακριβώς τρεις γνωστές τιμές (σε έγκυρο συνδυασμό) για να λυθεί πλήρως.
- Ο νόμος των συνημιτόνων συνδέει τρεις πλευρές και μια γωνία. ο Νόμος των Ημιτόνων συνδέει τις πλευρές και τις γωνίες αναλογικά με το ημίτονο της αντίθετης γωνίας τους.
- Οι τρεις εσωτερικές γωνίες αθροίζονται πάντα σε ακριβώς 180°, ανεξάρτητα από το σχήμα ή το μέγεθος του τριγώνου.
- Η είσοδος SSA είναι η μία περίπτωση που μπορεί να είναι διφορούμενη — μπορεί να περιγράφει μηδέν, ένα ή δύο έγκυρα τρίγωνα.
- Ο τύπος του Heron βρίσκει εμβαδόν απευθείας από τρεις πλευρές, χωρίς να χρειάζεται γωνία.
Επιλογή μεθόδου: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA
Κάθε λειτουργία περιγράφει έναν διαφορετικό συνδυασμό γνωστών πλευρών και γωνιών. Αντιστοιχίστε αυτό που έχετε με μια σειρά παρακάτω:
| Τρόπος | Ξέρεις | Λύθηκε με |
|---|---|---|
| SSS | Και οι τρεις πλευρές | Νόμος των συνημιτόνων (γωνίες), τύπος Heron (εμβαδόν) |
| SAS | Δύο πλευρές + η μεταξύ τους γωνία | Ο νόμος των συνημιτόνων (τρίτη πλευρά), μετά ο νόμος των συνημιτόνων και πάλι για τις γωνίες |
| ASA | Δύο γωνίες + η μεταξύ τους πλευρά | Θεώρημα αθροίσματος τριγώνων (τρίτη γωνία), νόμος ημιτόνων (πλευρές) |
| AAS | Δύο γωνίες + μια πλευρά όχι μεταξύ τους | Θεώρημα αθροίσματος τριγώνων (τρίτη γωνία), νόμος ημιτόνων (πλευρές) |
| SSA | Δύο πλευρές + μια μη περιλαμβανόμενη γωνία | Νόμος των ημιτόνων — μπορεί να έχει 0, 1 ή 2 λύσεις |
Νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων
Ο νόμος των συνημιτόνων γενικεύει το Πυθαγόρειο θεώρημα σε οποιοδήποτε τρίγωνο:
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
Ο Νόμος των Ημιτόνων συσχετίζει κάθε πλευρά με το ημίτονο της αντίθετης γωνίας του:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Παράδειγμα εργασίας (ASA): Γωνία Α = 40°, πλευρά c = 10, Γωνία Β = 60°
- Γωνία C = 180° − 40° − 60° = 80°
- Πλευρά a = c × sin(A) / sin(C) = 10 × sin(40°) / sin(80°) ≈ 6,53
- Πλευρά b = c × sin(B) / sin(C) = 10 × sin(60°) / sin(80°) ≈ 8,79
- Εμβαδόν = 0,5 × a × b × sin(C) ≈ 0,5 × 6,53 × 8,79 × sin(80°) ≈ 28,27
Η διφορούμενη υπόθεση SSA
Όταν γνωρίζετε δύο πλευρές και μια γωνία που δεν περιλαμβάνεται, το ύψος h = b × sin(A) καθορίζει πόσα τρίγωνα ταιριάζουν σε αυτές τις μετρήσεις. Παράδειγμα: πλευρά b = 10, γωνία A = 30° (άρα h = 10 × sin(30°) = 5):
| Πλευρά α | Σύγκριση με h = 5 | Αποτέλεσμα |
|---|---|---|
| 4 | a < h | Δεν υπάρχει τρίγωνο |
| 5 | a = h | Ακριβώς ένα τρίγωνο (ένα ορθογώνιο τρίγωνο) |
| 7 | h < a < b | Δύο πιθανά τρίγωνα (διφορούμενα) |
| 12 | a ≥ b | Ακριβώς ένα τρίγωνο |
Αυτή η αριθμομηχανή επιστρέφει το έγκυρο σύνολο λύσεων για τις εισόδους σας. όταν δύο τρίγωνα είναι μαθηματικά δυνατά, αναφέρει τη λύση οξείας γωνίας.
Συνήθη λάθη
- Εισαγωγή τριών πλευρών που παραβιάζουν την ανισότητα του τριγώνου — οι δύο μικρότερες πλευρές πρέπει να αθροίζονται περισσότερο από τη μεγαλύτερη πλευρά, διαφορετικά δεν μπορεί να σχηματιστεί κανένα τρίγωνο.
- Ανάμειξη SAS και ASA — Η SAS χρειάζεται τη γωνία μεταξύ των δύο δεδομένων πλευρών, ενώ η ASA χρειάζεται την πλευρά που βρίσκεται ανάμεσα στις δύο δεδομένες γωνίες.
- Ξεχνώντας ότι το SSA μπορεί να είναι διφορούμενο και υποθέτοντας ότι υπάρχει μόνο ένα πιθανό τρίγωνο.
- Εργασία σε λάθος μονάδα γωνίας — αυτή η αριθμομηχανή αναμένει μοίρες, όχι ακτίνια.
Σχετικές αριθμομηχανές
- Υπολογιστής δεξιού τριγώνου — για τρίγωνα με γνωστή γωνία 90°
- Υπολογιστής Πυθαγόρειου Θεωρήματος — για την εύρεση μιας πλευράς που λείπει από ένα ορθογώνιο τρίγωνο
- Υπολογιστής περιοχής — για εμβαδόν τριγώνων και άλλων σχημάτων
- Υπολογιστής απόστασης — για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων συντεταγμένων