La respuesta corta
Las secuencias aritméticas suman una cantidad constante en cada paso (2, 5, 8, 11... suma 3 cada vez); Las secuencias geométricas se multiplican por una razón constante (3, 6, 12, 24... se duplica cada vez). Una vez que sabes de qué tipo es una secuencia y su valor inicial, una fórmula te proporciona cualquier término (el 100, el 1000) sin enumerar todo lo intermedio.
Conclusiones clave
- Las sucesiones aritméticas tienen una diferencia constante entre términos consecutivos; Las sucesiones geométricas tienen una razón constante.
- Las fórmulas del enésimo término te permiten saltar directamente a cualquier posición (aₙ = a₁ + (n−1)d para aritmética, aₙ = a₁ × r^(n−1) para geométrica) sin generar primero cada término.
- No todas las secuencias son aritméticas o geométricas: las secuencias de estilo Fibonacci construyen cada término a partir de los anteriores en lugar de una diferencia o proporción constante.
- Existe una fórmula de suma para ambos tipos de secuencia, por lo que puedes sumar los primeros n términos sin sumarlos uno por uno.
Reconocer el tipo de patrón
| Patrón | Prueba | Ejemplo |
|---|---|---|
| Aritmética | Las diferencias consecutivas son constantes. | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| Geométrico | Las razones consecutivas son constantes. | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| Al estilo Fibonacci | Cada término = suma de los términos anteriores | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
Las fórmulas del enésimo término y de la suma
| Tipo | enésimo término | Suma de los primeros n términos |
|---|---|---|
| Aritmética | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| Geométrico | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
Ejemplo resuelto: suma de una secuencia aritmética
Encuentra la suma de los primeros 10 términos de 2, 5, 8, 11... (a₁ = 2, d = 3).
a₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
La fórmula de la suma solo necesita el primer término, el último término y el conteo; no es necesario sumar los 10 números a mano para verificar el total.
Errores comunes a evitar
- Suponiendo que un patrón es aritmético después de verificar solo un par de términos, confirme cada diferencia consecutiva antes de concluir.
- Usar la fórmula de suma aritmética en una secuencia geométrica, o viceversa, las dos fórmulas no son intercambiables.
- Olvidar la fórmula de la suma geométrica falla cuando r = 1: cada término es idéntico, por lo que la suma es simplemente n × a₁, no una división por cero.
- Tratar una secuencia recursiva como Fibonacci como si tuviera una fórmula simple de forma cerrada de enésimo término no es así, sin identidades más avanzadas.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora promedio — compare la media de los términos de su secuencia con su suma basada en fórmulas.
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- Calculadora de proporciones — verificar la razón común que impulsa una secuencia geométrica.
- Calculadora de estadísticas — Analizar una secuencia generada como un conjunto de datos completo.