Calcolatore di permutazioni e combinazioni

Calcola le permutazioni P(n,r) e le combinazioni C(n,r) con soluzioni e visualizzazioni passo passo.

Per l'aiuto nell'apprendimento e nei compiti: verifica i calcoli critici in modo indipendente.

Recensito da Comitato editoriale di CalculatorDrive Math · Ultimo aggiornamento

Calcolatrice

Numero di articoli totali (deve essere ≥ 0)

Numero di elementi da selezionare/organizzare (deve essere ≥ 0 e ≤ n)

Seleziona il tipo di calcolo (Permutazione o Combinazione) e inserisci i valori n e r per calcolare con soluzioni passo passo.

La risposta breve

Le permutazioni contano le disposizioni in cui l'ordine conta (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!); le combinazioni contano le selezioni dove l'ordine non lo fa (C(n,r) = n! ÷ (r!(n−r)!)). Scegliere un podio da 3 posti tra 10 corridori è una permutazione — P(10,3) = 720 ordinamenti diversi. Scegliere un comitato di 3 persone tra le stesse 10 persone è una combinazione: C(10,3) = 120, poiché i membri del comitato non si preoccupano dell'ordine.

Punti chiave

  • Le combinazioni sono sempre minori (o uguali) della permutazione corrispondente, poiché C(n,r) = P(n,r) ÷ r! - dividendo tutti i modi per riordinare lo stesso gruppo.
  • C(n,r) = C(n, n−r) — scegliere quali r elementi includere equivale a scegliere quali n−r elementi tralasciare.
  • Quando r = n, entrambi si riducono a contare tutti gli n elementi: P(n,n) = n! e C(n,n) = 1.
  • I fattoriali crescono estremamente velocemente, quindi P(n,r) e C(n,r) possono diventare astronomicamente grandi anche per valori modesti di n e r.

Le formule di permutazione e combinazione

Concetto Formula L'ordine è importante?
PermutazioneP(n,r) = n! / (n−r)!SÌ
CombinazioneC(n,r) = n! / (r!(n−r)!)NO

Esempio pratico: ordine di gara contro selezione del comitato

Con 10 corridori (n = 10), scegliendone 3 (r = 3):

P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (ordinamenti oro/argento/bronzo)

C(10,3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 (comitati di 3 persone)

Ogni gruppo di 3 corridori corrisponde a 3! = 6 diversi piazzamenti sul podio (chi ha ottenuto oro, argento, bronzo), ecco perché il conteggio delle permutazioni (720) è 6 volte il conteggio delle combinazioni (120).

La regola di simmetria per le combinazioni

C(8,2) = C(8,6) = 28

Scegliere 2 persone su 8 da includere in un gruppo produce esattamente lo stesso conteggio della scelta delle 6 persone da escludere: sono due modi per descrivere la stessa divisione. Questa simmetria, C(n,r) = C(n, n−r), può risparmiare sforzo di calcolo: se r è più della metà di n, di solito è invece più veloce calcolare C(n, n−r).

Errori comuni da evitare

  • Usare la formula di permutazione quando l'ordine non ha veramente importanza: questo gonfia il conteggio reale di un fattore r!.
  • Dimenticando che r non può superare n: non c'è modo di organizzare o selezionare più elementi di quelli esistenti nel gruppo.
  • Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
  • Perdere traccia di r nei problemi di selezione a più fasi: dimenticare di ridurre il pool rimanente dopo ogni fase già scelta.

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Domande frequenti

Qual è la differenza tra permutazione e combinazione?

Le permutazioni contano le disposizioni ordinate: ABC differisce da BAC. Le combinazioni contano le selezioni non ordinate: ABC e BAC sono lo stesso gruppo.

Quando usi nPr rispetto a nCr?

Utilizza le permutazioni quando l'ordine è importante, come i traguardi di gara o i codici PIN. Usa le combinazioni quando l'ordine non ha importanza, come la scelta di un comitato.

Cosa significa fattoriale nel conteggio delle formule?

N! significa n × (n−1) × … × 1. Le formule di permutazione e combinazione utilizzano fattoriali per contare le disposizioni senza elencare tutti i casi.

Può essere consentita la ripetizione?

SÌ. Con la ripetizione, gli elementi possono essere riutilizzati, come un lucchetto a quattro cifre in cui le cifre si ripetono. Le formule differiscono dai casi senza ripetizione.

Come utilizzo questo calcolatore di permutazioni e combinazioni?

Inserisci n e r, scegli la permutazione o la combinazione, indica se è consentita la ripetizione e fai clic su Calcola.

Perché C(n,r) è uguale a C(n, n−r)?

Scegliere r elementi da includere da un gruppo di n è matematicamente uguale a scegliere n−r elementi da escludere: ogni selezione ha esattamente un gruppo complementare che non hai scelto. Ecco perché C(10,3) = C(10,7) = 120: scegliere 3 persone per una squadra equivale a scegliere le 7 che non ce la fanno.

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