Risposta rapida
Un punteggio z ti dice di quante deviazioni standard un valore si trova sopra o sotto la media: z = (X − μ) / σ. Inserisci un punteggio grezzo con la media e la deviazione standard per ottenere il punteggio z oppure lavora a ritroso partendo da un punteggio z noto per trovare il punteggio grezzo, il percentile e la probabilità sotto la curva normale.
Punti chiave
- Un punteggio z pari a 0 significa che il valore è esattamente uguale alla media; z positivo è superiore alla media, z negativo è inferiore ad essa.
- I punteggi Z standardizzano qualsiasi set di dati normalmente distribuito su una scala comune, consentendo di confrontare valori misurati in unità completamente diverse.
- La regola empirica afferma che circa il 68% dei valori rientra entro ±1 DS, il 95% entro ±2 DS e il 99,7% entro ±3 DS della media.
- Il percentile e il punteggio z sono correlati ma diversi: un punteggio z pari a 1 corrisponde a circa l'84° percentile, non al 1°.
La formula del punteggio z, esempio funzionante
z = (X − μ) / σ
Esempio: punteggio grezzo X = 75, media μ = 70, deviazione standard σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0,5
- Un punteggio z di 0,5 significa che il punteggio si trova a metà deviazione standard sopra la media.
- Osservando z = 0,5 sulla distribuzione normale standard si ottiene un percentile di circa il 69,1%: il punteggio supera circa il 69% della distribuzione.
Punteggi Z, percentili e regola empirica
Per qualsiasi distribuzione normale, la regola empirica (regola 68-95-99,7) descrive quanti dati rientrano in ciascuna fascia di deviazioni standard:
| Allineare | % approssimativo dei dati |
|---|---|
| μ±1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ±2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ±3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
Confronto dei punteggi su scale diverse
I punteggi Z ti consentono di confrontare le prestazioni nei test con scale di punteggio completamente diverse. Supponiamo che lo studente A abbia un punteggio di 1350 al SAT (media 1050, SD 200) e che lo studente B abbia un punteggio di 30 all'ACT (media 21, SD 5):
- Studente A: z = (1350 − 1050) / 200 = 1,5
- Student B: z = (30 − 21) / 5 = 1.8
Anche se i punteggi grezzi utilizzano scale non correlate, il punteggio z più alto dello studente B significa che ha ottenuto risultati migliori rispetto alla distribuzione dei punteggi del proprio test.
Errori comuni
- Trattare un punteggio z come se fosse direttamente un percentile: un punteggio z pari a 1 è all'incirca l'84° percentile, non il 1°.
- Mescolando la probabilità della coda sinistra, della coda destra e a due code: ciascuna risponde a una domanda diversa su dove cade un valore.
- Applicazione dei punteggi z e della regola empirica a dati che non sono distribuiti approssimativamente normalmente, dove le percentuali non valgono più.
- Eliminazione del segno di un punteggio z negativo, che determina se un valore è superiore o inferiore alla media.
Calcolatori correlati
- Calcolatore della deviazione standard — per calcolare σ da un set di dati grezzi
- Calcolatore dell'intervallo di confidenza — per stimare un intervallo attorno a una statistica campionaria
- Calcolatore del valore P — per verificare l'ipotesi di significatività da una statistica test
- Calcolatore statistico — per una serie completa di statistiche descrittive sui tuoi dati