La risposta breve
La deviazione standard misura la distribuzione dei dati attorno alla media, nelle stesse unità dei dati originali. Calcolalo trovando la deviazione quadrata di ciascun valore dalla media, calcolando la media di tali deviazioni quadrate (varianza), quindi prendendo la radice quadrata. Un insieme ristretto di valori fornisce una DS piccola; valori ampiamente sparsi danno una SD ampia.
Punti chiave
- La DS del campione si divide per (n−1), non per n — correzione di Bessel — per evitare di sottostimare sistematicamente la reale diffusione della popolazione.
- La deviazione standard condivide le stesse unità dei dati originali; la varianza è espressa in unità quadrate, motivo per cui di solito viene riportata la SD, e non la varianza.
- La regola empirica (68-95-99.7) si applica solo a dati approssimativamente a campana (normali) e non vale per distribuzioni distorte o multimodali.
- La quadratura delle deviazioni prima della media (piuttosto che la semplice media delle deviazioni assolute) penalizza più pesantemente le deviazioni più grandi, motivo per cui la varianza e la SD sono diventate la misura standard della diffusione.
La formula della deviazione standard, passo dopo passo
| Fare un passo | Azione |
|---|---|
| 1 | Trova la media del set di dati |
| 2 | Sottrai la media da ciascun valore (la deviazione) |
| 3 | Quadrata ogni deviazione |
| 4 | Media delle deviazioni al quadrato (dividi per n o n−1): questa è la varianza |
| 5 | Prendi la radice quadrata della varianza: questa è la deviazione standard |
Campione vs popolazione: la correzione n−1
Per il set di dati {2, 4, 6, 8}, media = 5 e le deviazioni al quadrato sono 9, 1, 1, 9 (somma = 20):
Varianza della popolazione = 20 ÷ 4 = 5 → DS della popolazione = √5 ≈ 2.236
Varianza campionaria = 20 ÷ 3 ≈ 6.667 → DS campione = √6.667 ≈ 2.582
La versione del campione è sempre uguale o maggiore della versione della popolazione per gli stessi dati: dividere per un numero più piccolo (n−1 invece di n) gonfia leggermente la stima, correggendo il fatto che un campione tende a sottostimare la reale diffusione dell’intera popolazione.
La regola empirica per dati normali
| Allineare | % dei dati (distribuzione normale) |
|---|---|
| Media ± 1 DS | 68% |
| Media ± 2 DS | 95% |
| Media ± 3 DS | 99.7% |
Questa regola è un rapido controllo di integrità per i dati a campana, non una legge universale: non funziona in caso di distribuzioni distorte, multimodali o con code pesanti.
Errori comuni da evitare
- Dimenticando il passaggio finale della radice quadrata: la varianza e la deviazione standard sono spesso confuse, ma non sono intercambiabili, poiché sono in unità diverse.
- Utilizzando la formula della popolazione (÷n) quando si tenta di stimare la diffusione di una popolazione da un campione, questo sottostima la vera variabilità.
- Applicando la regola empirica a dati che non sono approssimativamente a forma di campana: i dati distorti non seguiranno il modello 68-95-99,7.
- Calcolo delle deviazioni dalla mediana anziché dalla media: la deviazione standard è definita specificamente attorno alla media.
Calcolatori correlati
- Calcolatore della media — calcola la media che questa calcolatrice misura in modo distribuito.
- Calcolatore di media, mediana, modalità e intervallo — ottenere un quadro statistico più completo insieme alla SD.
- Calcolatore dell'intervallo di confidenza — utilizzare la SD per costruire una stima dell'intervallo per la media della popolazione.
- Calcolatore del punteggio Z — vedere quante deviazioni standard un valore si trova dalla media.