短い答え
ピタゴラスの定理では、任意の直角三角形に対して a² + b² = c² となります。ここで、c は斜辺 (直角の反対側の最長の辺)、a、b は 2 本の脚です。任意の 2 つの辺が与えられた場合、3 番目の辺を解きます。 c = √(a²+b²) で斜辺を見つけるか、a = √(c²−b²) で足を見つけます。
重要なポイント
- この定理は直角三角形、つまり 90 度の角度が 1 つだけある三角形にのみ適用されます。
- The hypotenuse is always the longest side and always stands alone on one side of the equation, never combined with a leg under the same square root.
- ピタゴラス トリプル (3-4-5、5-12-13、8-15-17) は、幾何学問題や現実世界の構築で常に現れる整数の解です。
- ピタゴラス トリプルの各辺に同じ数値を乗算すると、別の有効なトリプルが生成されます。6-8-10 と 9-12-15 はどちらも 3-4-5 からスケールされます。
それぞれの側について解く
| 未知 | 式 |
|---|---|
| c (斜辺) | c = √(a² + b²) |
| (脚) | a = √(c² − b²) |
| b（脚） | b = √(c² − a²) |
Solving for a leg always subtracts under the square root, never adds — a leg is shorter than the hypotenuse, so removing the other leg's contribution from c² is what recovers it.
一般的なピタゴラスのトリプル
| トリプル | チェック |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
Worked example: the 3-4-5 construction rule
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
建築業者は、同じ角から 1 つの壁に沿って 3 フィート、垂直な壁に沿って 4 フィートの距離を測定し、それら 2 点間の対角線を確認します。対角線がちょうど 5 フィートであれば、真の直角であることが確認できます。分度器や角度測定器は必要ありません。巻尺とこれ 1 つだけで識別できます。
避けるべきよくある間違い
- 実際には直角ではない三角形に a² + b² = c² を適用すると、真の 90° の角度がなければ恒等式は成立しません。
- レッグを解くときに減算ではなく加算する — レッグは c² + (他のレッグ)² ではなく、c² − (他のレッグ)² から得られます。
- どの辺が斜辺であるかの誤ったラベル付け。三角形の描画方法や回転方法に関係なく、斜辺は常に直角の反対側であり、常に最も長い辺です。
- 二乗する前に単位を混合する - 数式で意味のある結果が得られる前に、すべての辺が同じ単位 (すべてのフィートまたはすべてのメートル) である必要があります。