短い答え
二次公式は、ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a) の形式の方程式を解きます。 ± は、平方根項を加算してから減算することによって求められる 2 つの解があることを意味します。判別式 b²−4ac は、計算を完了する前に、どのような種類の解が期待されるかをプレビューします。
重要なポイント
- 判別式 (b²−4ac) は答えのタイプをプレビューします。正は 2 つの実根を意味し、ゼロは 1 つの反復実根を意味し、負は 2 つの複素根を意味します。
- x = −b/(2a) の頂点は、a > 0 の場合は放物線の最小点、a < 0 の場合は最大点です。
- 二次関数が整数をきれいに因数分解する場合、因数分解は公式よりも高速ですが、因数分解が機能しない場合でも、公式は常に機能します。
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
二次公式と判別式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| 判別式 | ソリューションの種類 | 例 |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | 2 つの実際のソリューション | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | 現実の解決策を 1 回繰り返す | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | 2 つの複雑なソリューション | x²+x+1=0 |
実際の例: x² − 5x + 6 = 0 を解く
a=1、b=−5、c=6
判別式 = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 または x = 2
これは、同じ方程式を直接因数分解することと一致します: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)。これは、x = 2 または x = 3 の場合に正確にゼロになります。常にそうであるように、2次公式と因数分解は一致します。
頂点と対称軸
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2.5
y = (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25
頂点 = (2.5, −0.25)
a = 1 が正であるため、この放物線は上に開いており、頂点 (2.5, −0.25) は曲線上の最低点であり、対称軸 x = 2.5 上の 2 つの根 2 と 3 のちょうど中間に位置します。
避けるべきよくある間違い
- ± を忘れて 1 つの根のみを報告します。正の判別式を持つすべての二次方程式には 2 つの異なる解があります。
- b が負の場合、符号エラーが発生します。b が負の場合、-b は正になります。これは、算術ミスの頻繁な原因となります。
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- 頂点の x = −b/(2a) で停止し、それを元の方程式に戻して y 座標も取得するのを忘れています。