簡単な回答
Z スコアは、値が平均より上または下の標準偏差の数を示します: z = (X − μ) / σ。平均および標準偏差を含む生のスコアを入力して Z スコアを取得するか、既知の Z スコアから逆算して生のスコア、パーセンタイル、および正規曲線の下の確率を見つけます。
重要なポイント
- Z スコア 0 は、値が平均と正確に等しいことを意味します。正の z は平均より上、負の z は平均より下です。
- Z スコアは、正規分布したデータ セットを共通のスケールに標準化し、まったく異なる単位で測定された値を比較できるようにします。
- 経験則によれば、値のおよそ 68% が平均値の ±1 SD 以内、95% が ±2 SD 以内、99.7% が平均値の ±3 SD 以内に収まります。
- パーセンタイルと Z スコアは関連していますが、異なります。Z スコア 1 は、1 番目のパーセンタイルではなく、約 84 番目のパーセンタイルに対応します。
The z-score formula, worked example
z = (X − μ) / σ
例: 生のスコア X = 75、平均 μ = 70、標準偏差 σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0.5
- A z-score of 0.5 means the score sits half a standard deviation above the mean.
- 標準正規分布で z = 0.5 を調べると、パーセンタイルは約 69.1% になります。スコアは分布の約 69% を上回ります。
Z スコア、パーセンタイル、および経験則
正規分布の場合、経験則 (68-95-99.7 ルール) により、標準偏差の各帯域内にどれだけのデータが収まるかが決まります。
| 範囲 | データのおよそ % |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
さまざまなスケールでのスコアの比較
Z スコアを使用すると、まったく異なるスコアスケールでテストのパフォーマンスを比較できます。生徒 A が SAT で 1350 点 (平均 1050、SD 200)、生徒 B が ACT で 30 点 (平均 21、SD 5) を獲得したとします。
- 生徒 A: z = (1350 − 1050) / 200 = 1.5
- 生徒 B: z = (30 − 21) / 5 = 1.8
生のスコアでは無関係なスケールが使用されていますが、生徒 B の Z スコアが高いということは、生徒 B の成績が自分のテストのスコア分布と比較して優れていることを意味します。
よくある間違い
- Z スコアを直接パーセンタイルであるかのように扱います。Z スコア 1 は、1 番目ではなく、およそ 84 番目のパーセンタイルです。
- 左尾確率、右尾確率、両側確率を混同すると、値がどこに該当するかについてそれぞれ異なる質問に答えます。
- ほぼ正規分布しておらず、パーセンテージが当てはまらないデータに Z スコアと経験則を適用します。
- 負の Z スコアの符号を削除し、値が平均より上か下かを反転します。
関連する電卓
- 標準偏差計算機 — 生のデータセットから σ を計算するための
- 信頼区間の計算ツール — 標本統計量の周囲の範囲を推定するため
- P 値計算機 — 検定統計量からの仮説検定の有意性について
- 統計計算機 — データに関する完全な記述統計を取得するには