短い答え
信頼区間は、母集団の真の値が含まれる可能性が高い標本統計量に基づいて構築された範囲です。区間 = 点推定値 ± (臨界値 × 標準誤差)。 95% 信頼区間とは、サンプリング プロセスを何度も繰り返した場合、作成する区間の約 95% に真の母集団パラメータが含まれることを意味します。真の値がこの 1 つの特定の区間内に収まる可能性が 95% あるという意味ではありません。
重要なポイント
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- 母集団の標準偏差がわかっている場合、またはサンプルが大きい場合 (n ≥ 30) には Z 分布を使用します。小さなサンプルから σ を推定する場合は、t 分布を使用します。
- 標準誤差は n 自体ではなく n の平方根で縮小するため、サンプル サイズを 4 倍にしても誤差の範囲は半分になるだけです。
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
信頼区間の公式
平均値 (σ 既知): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
割合: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| 信頼レベル | z臨界値 |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z と t: どの臨界値を使用するか
| 状態 | Use | なぜ |
|---|---|---|
| σ 既知、任意のサンプルサイズ | z | 標準正規分布が正確に適用されます |
| σ 不明、n ≥ 30 | z (約。) | サンプルが大きいと、t は z とほぼ同じになります。 |
| p 不明、n < 30 | t | 裾が太いと、σ の推定に余分な不確実性が生じます。 |
作業例: サンプル平均の 95% 区間
サンプル平均 x̄ = 50.5、サンプル サイズ n = 100、標準偏差 σ = 10.5、信頼水準 = 95%。
標準誤差 = σ / √n = 10.5 / √100 = 1.05
誤差範囲 = 1.96 × 1.05 ≈ 2.06
95% CI = 50.5 ± 2.06 = [48.44, 52.56]
母集団の真の平均値が 48.44 ～ 52.56 の間にあることを 95% 確信していると言えます。これは、この方法が同じ方法で抽出されたサンプルの約 95% で真の平均値を取得していることを意味しており、この特定の区間が正しい確率が 95% であるということではありません。
避けるべきよくある間違い
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- サンプルが小さく、σ が不明な場合に z を使用すると、t 分布のより太い裾が特にその余分な不確実性を考慮して存在します。
- サンプルサイズを 2 倍にすると誤差の範囲が半分になると仮定します。標準誤差は √n で縮小するため、実際には誤差を半分にするには n を 4 倍にする必要があります。
- 忘却割合信頼区間には 0 と 1 の間の p̂ が必要ですが、サンプルが小さいと 0 または 1 付近では適切に動作しない可能性があります。
関連する電卓
- 標準偏差計算機 — 生データの周囲に区間を構築する前に、生データから σ を計算します。
- サンプルサイズ計算ツール — 目標の誤差範囲から必要なサンプルサイズまで逆算して作業します。
- Z スコア計算機 — 個々のデータ ポイントがこの分布に対してどこに位置するかを確認します。
- P 値計算機 — 範囲を推定するのではなく、特定の仮説をテストします。