短い答え
標準偏差は、元のデータと同じ単位で、データが平均の周囲にどの程度広がっているかを測定します。平均からの各値の二乗偏差を求め、それらの二乗偏差 (分散) を平均し、平方根を取ることで計算します。値の密集したクラスターでは SD が小さくなります。値が広く分散している場合、SD は大きくなります。
重要なポイント
- Sample SD divides by (n−1), not n — Bessel's correction — to avoid systematically underestimating the true population spread.
- 標準偏差は元のデータと同じ単位を共有します。分散は二乗単位で表されるため、通常は分散ではなく SD が報告されます。
- 経験則 (68-95-99.7) は、ほぼ釣鐘型 (正規) データにのみ適用されます。偏った分布や多峰性の分布には当てはまりません。
- (絶対偏差を単に平均するのではなく) 平均する前に偏差を二乗すると、偏差が大きいほどペナルティが重くなります。これが、分散と SD が広がりの標準尺度になった理由です。
標準偏差の公式のステップバイステップ
| ステップ | 操作 |
|---|---|
| 1 | Find the mean of the data set |
| 2 | Subtract the mean from each value (the deviation) |
| 3 | 各偏差を二乗する |
| 4 | Average the squared deviations (divide by n or n−1) — this is the variance |
| 5 | 分散の平方根を計算します。これが標準偏差です。 |
サンプルと母集団: n−1 補正
データセット {2, 4, 6, 8} の場合、平均 = 5、二乗偏差は 9、1、1、9 (合計 = 20) になります。
母集団分散 = 20 ÷ 4 = 5 → 母集団 SD = √5 ≈ 2.236
Sample variance = 20 ÷ 3 ≈ 6.667 → sample SD = √6.667 ≈ 2.582
同じデータのサンプル バージョンは常に母集団バージョンと同じかそれより大きくなります。より小さい数 (n ではなく n-1) で割ると推定値がわずかに膨らみ、サンプルが母集団全体の真の広がりを過小評価する傾向があるという事実が補正されます。
The empirical rule for normal data
| 範囲 | データの % (正規分布) |
|---|---|
| Mean ± 1 SD | 68% |
| 平均値 ± 2 SD | 95% |
| 平均±3SD | 99.7% |
このルールは、ベル型データの健全性を簡単にチェックするものであり、普遍的な法則ではありません。このルールは、偏った分布、マルチモーダルな分布、またはヘビーテール分布の場合には適用されません。
避けるべきよくある間違い
- 最後の平方根のステップを忘れます。分散と標準偏差はよく混同されますが、単位が異なるため交換可能ではありません。
- 標本から母集団の広がりを推定しようとするときに母集団の公式 (÷n) を使用すると、真のばらつきが過小評価されます。
- ほぼ釣鐘型ではないデータに経験則を適用すると、偏ったデータは 68-95-99.7 のパターンに従いません。
- 平均値の代わりに中央値からの偏差を計算します。標準偏差は平均値の周囲で特別に定義されます。
関連する電卓
- Average Calculator — この計算機が測定する分散の平均を計算します。
- 平均値、中央値、モードおよび範囲の計算機 — SD とともにより完全な統計的全体像を取得します。
- 信頼区間の計算ツール — SD を使用して母集団平均の範囲推定値を構築します。
- Z スコア計算機 — see how many standard deviations a value sits from the mean.